Проверь себя Глава 1 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
a/b; 3/(a-1); a/(b+2).
2. Выполнить действия:
а) 4a + (1-4a^2)/a; б) (a+b)/(a-b) — (a-b)/(a+b);
в) (2a-4)/3b · 6b/(a-2); г) (a^2-b^2)/b^2 : (a+b)/b.
3. Упростить выражение (1+2x)/(x-3) — (x^2+3x)/5 · 10/(x^2-9) и найти его числовое значение при x=2 2/3.
4. Найти допустимые значения букв, входящих в дробь:
(a-4)/(a+4); 2b/(b^2+1); 7/c(c-2) .
5. Сократить дробь (9x^2-4y^2)/(20y^2-60xy+45x^2 ) и найти ее значение при x=2/3; y=0,75.
6. Доказать, что сумма дробей (2-a)/(a+2), 2a/(2-a) и (4a^2)/(a^2-4) равна 1.
7. Упростить выражение (x + 3 + 18/(x-3)) · (2x^2-12x+18)/(x^2+9).
8. Решить уравнение (x-3)^2/12 — (2x^2+5)/4 + (1,25x^2-1)/3 = 2/3.
9. Найти допустимые значения букв, входящих в дробь:
а) (a^2-b^2)/(a^2+b^2 ); б) (1-b)/(|b|); в) 9/(a^2-9).
10. Сократить дробь: а) 5a/(|a|); б) (2|a-1|)/(a-1).
11. Доказать, что значение выражения
(x-3)/(x^2-10x+25) — (3-4x)/(10x-25-x^2 ) + (4x-5)/(5-x)^2
не может быть равно 0 ни при каких допустимых значениях x.
12. Найти значение выражения
(3m^3n)/(m^3n+n^3n ) · (m^n+n^n)/m^n — (3m^2n)/(m^2n-m^n n^n+n^2n ).
13. Решить уравнение (x+a)^2/2 — (x-a)^2/4 + x/2 = (a^2+x^2+3)/4.
1. Доказать, что при всех значениях x верно неравенство
1/2 x(2x-4)?(x-2)x
2. Решить неравенство:
а) 12-5x>0;
б) 3x-7?4(x+2);
в) x/2+(3-x)/4<2.
3. Решить систему неравенств:
а) {(3x-13>0
25-4x>0)+
б) {(4x-13?3x-10
11-4x?12-3x)+
в) {(5x+3<3x-7
1-2x>x+4)+
4. Доказать, что при любых значениях a верно неравенство:
(a-2)(a^2+a+4) < a^3.
5. Пусть a>5, b>1, c>3. Доказать, что 2a+3bc>15.
6. Решить неравенство:
а) (-5,6)/(3x-8)>0; б)(x+5)/2-1?(3x-7)/4.
7. Решить систему неравенств:
а) {(9x+5?7x-4
15-2x>3x+1)+
б) {(0,6x-1,2<1,1x+2,1
2,3+1,7x?1,5x+3)+
8. Решить неравенство:
а) |x-2|<8; б) |4x+1|?5.
9. Пусть ab^4.
10. Доказать, что a/b+b/a<=2, если ab>0.
11. При каких значениях x точки графика функции y=1/2 x-8 лежат ниже точек графика функции y=-3/2 x+5?
12. Решить двойное неравенство -1?5-0,2x?3.
13. Решить неравенство |4x-3|<3x+1.
Для дроби $$\frac{a}{b}$$ знаменатель не должен быть равен нулю, значит $$b \ne 0$$.
Для дроби $$\frac{3}{a-1}$$ нужно $$a-1 \ne 0$$, то есть $$a \ne 1$$.
Для дроби $$\frac{a}{b+2}$$ нужно $$b+2 \ne 0$$, то есть $$b \ne -2$$.
а) $$4a+\frac{1-4a^2}{a}=\frac{4a^2+1-4a^2}{a}=\frac{1}{a}.$$
б)
$$ \frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b} =\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} =\frac{4ab}{a^2-b^2}. $$в)
$$ \frac{2a-4}{3b}\cdot\frac{6b}{a-2} =\frac{2(a-2)}{3b}\cdot\frac{6b}{a-2}=4. $$г)
$$ \frac{a^2-b^2}{b^2}:\frac{a+b}{b} =\frac{(a-b)(a+b)}{b^2}\cdot\frac{b}{a+b} =\frac{a-b}{b}. $$$$ \frac{1+2x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{5}\cdot\frac{10}{x^2-9} =\frac{1+2x}{x-3}-\frac{x(x+3)\cdot 10}{5(x-3)(x+3)} =\frac{1+2x}{x-3}-\frac{2x}{x-3} =\frac{1}{x-3}. $$
При $$x=2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$$:
$$ \frac{1}{x-3}=\frac{1}{\frac{8}{3}-3}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3. $$
Для дроби $$\frac{a-4}{a+4}$$ нужно $$a+4 \ne 0$$, то есть $$a \ne -4$$.
Для дроби $$\frac{2b}{b^2+1}$$ знаменатель $$b^2+1$$ всегда положителен, поэтому $$b$$ — любое число.
Для дроби $$\frac{7}{c(c-2)}$$ нужно $$c(c-2)\ne 0$$, значит $$c \ne 0$$ и $$c \ne 2$$.
$$ \frac{9x^2-4y^2}{20y^2-60xy+45x^2} =\frac{(3x-2y)(3x+2y)}{5(3x-2y)^2} =\frac{3x+2y}{5(3x-2y)}. $$
При $$x=\frac{2}{3}$$, $$y=0{,}75=\frac{3}{4}$$:
$$ \frac{3x+2y}{5(3x-2y)} =\frac{3\cdot \frac{2}{3}+2\cdot \frac{3}{4}}{5\left(3\cdot \frac{2}{3}-2\cdot \frac{3}{4}\right)} =\frac{2+\frac{3}{2}}{5\left(2-\frac{3}{2}\right)} =\frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}} =\frac{7}{5}. $$
$$ \frac{2-a}{a+2}+\frac{2a}{2-a}+\frac{4a^2}{a^2-4}=1. $$
ОДЗ: $$a \ne -2$$, $$a \ne 2$$.
Приведём к общему знаменателю $$a^2-4=(a-2)(a+2)$$:
$$ \frac{(2-a)(a-2)-2a(a+2)+4a^2}{a^2-4} =\frac{a^2-4}{a^2-4}=1. $$
$$ \left(x+3+\frac{18}{x-3}\right)\cdot\frac{2x^2-12x+18}{x^2+9} $$
$$ =\left(\frac{(x+3)(x-3)+18}{x-3}\right)\cdot\frac{2(x-3)^2}{x^2+9} =\frac{x^2+9}{x-3}\cdot\frac{2(x-3)^2}{x^2+9} =2(x-3). $$
$$ \frac{(x-3)^2}{12}-\frac{2x^2+5}{4}+\frac{1{,}25x^2-1}{3}=\frac{2}{3}. $$
Умножим на $$12$$:
$$ (x-3)^2-3(2x^2+5)+4(1{,}25x^2-1)=8. $$
$$ x^2-6x+9-6x^2-15+5x^2-4=8 $$
$$ -6x-10=8,\qquad -6x=18,\qquad x=-3. $$
а) Для дроби $$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$$ нужно $$a^2+b^2 \ne 0$$, то есть одновременно $$a \ne 0$$ и $$b \ne 0$$.
б) Для дроби $$\frac{1-b}{|b|}$$ нужно $$|b| \ne 0$$, значит $$b \ne 0$$.
в) Для дроби $$\frac{9}{a^2-9}$$ нужно $$a^2-9 \ne 0$$, то есть $$a \ne \pm 3$$.
а)
$$ \frac{5a}{|a|}= \begin{cases} 5, & a>0,\\ -5, & a<0. \end{cases} $$б)
$$ \frac{2|a-1|}{a-1}= \begin{cases} 2, & a>1,\\ -2, & a<1. \end{cases} $$$$ \frac{x-3}{x^2-10x+25}-\frac{3-4x}{10x-25-x^2}+\frac{4x-5}{(5-x)^2} $$
Так как $$x^2-10x+25=(x-5)^2$$, а $$10x-25-x^2=-(x-5)^2$$, получаем:
$$ \frac{x-3}{(x-5)^2}+\frac{3-4x}{(x-5)^2}+\frac{4x-5}{(x-5)^2} =\frac{x-5}{(x-5)^2} =\frac{1}{x-5}. $$
При допустимых значениях $$x$$ это выражение не может быть равно $$0$$.
$$ \frac{3m^{3n}}{m^{3n}+n^{3n}}\cdot\frac{m^n+n^n}{m^n} -\frac{3m^{2n}}{m^{2n}-m^nn^n+n^{2n}} $$
После сокращения получаем:
$$ \frac{3m^{2n}}{m^{2n}-m^nn^n+n^{2n}} -\frac{3m^{2n}}{m^{2n}-m^nn^n+n^{2n}}=0. $$
$$ \frac{(x+a)^2}{2}-\frac{(x-a)^2}{4}+\frac{x}{2}=\frac{a^2+x^2+3}{4}. $$
Умножим на $$4$$:
$$ 2(x+a)^2-(x-a)^2+2x=a^2+x^2+3. $$
$$ 2(x^2+2ax+a^2)-(x^2-2ax+a^2)+2x=a^2+x^2+3 $$
$$ 2x^2+4ax+2a^2-x^2+2ax-a^2+2x=a^2+x^2+3 $$
$$ 6ax+2x=3,\qquad 2x(3a+1)=3. $$
$$ x=\frac{3}{2(3a+1)}, \qquad a\ne -\frac{1}{3}. $$
$$ \frac{1}{2}x(2x-4)\ge (x-2)x $$
$$ x^2-2x\ge x^2-2x, $$
верно при любом $$x$$.
а)
$$ 12-5x>0 \Rightarrow x<\frac{12}{5}=2{,}4. $$б)
$$ 3x-7\le 4(x+2)\Rightarrow 3x-7\le 4x+8 \Rightarrow x\ge -15. $$в)
$$ \frac{x}{2}+\frac{3-x}{4}<2 \Rightarrow 2x+3-x<8 \Rightarrow x<5. $$а)
$$ \begin{cases} 3x-13>0,\\ 25-4x>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>\frac{13}{3},\\ x<\frac{25}{4} \end{cases} $$$$ x\in \left(\frac{13}{3};\frac{25}{4}\right). $$
б)
$$ \begin{cases} 4x-13\ge 3x-10,\\ 11-4x\le 12-3x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge 3,\\ x\ge -1 \end{cases} $$$$ x\in [3;+\infty). $$
в)
$$ \begin{cases} 5x+3<3x-7,\\ 1-2x>x+4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-5,\\ x<-1 \end{cases} $$$$ x\in (-\infty;-5). $$
$$ (a-2)(a^2+a+4)=a^3-8. $$
Так как $$a^3-8
$$ (a-2)(a^2+a+4)
Если $$a>5$$, $$b>1$$, $$c>3$$, то
$$ 2a+3bc>2\cdot 5+3\cdot 1\cdot 3=19. $$
Значит, тем более $$2a+3bc>15$$.
а)
$$ \frac{-5{,}6}{3x-8}>0. $$Числитель отрицателен, значит знаменатель должен быть отрицательным:
$$ 3x-8<0 \Rightarrow x<\frac{8}{3}. $$
б)
$$ \frac{x+5}{2}-1\le \frac{3x-7}{4} $$$$ 2x+10-4\le 3x-7 \Rightarrow 2x+6\le 3x-7 \Rightarrow x\ge 13. $$
а)
$$ \begin{cases} 9x+5>7x-4,\\ 15-2x>3x+1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-\frac{9}{2},\\ x<\frac{14}{5} \end{cases} $$$$ x\in \left(-\frac{9}{2};\frac{14}{5}\right). $$
б)
$$ \begin{cases} 0{,}6x-1{,}2<1{,}1x+2{,}1,\\ 2{,}3+1{,}7x\ge 1{,}5x+3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-6{,}6,\\ x\ge 0{,}875 \end{cases} $$$$ x\in [0{,}875;+\infty). $$
а)
$$ |x-2|<8 \Rightarrow -8б)
$$ |4x+1|\ge 5 \Rightarrow \begin{cases} 4x+1\ge 5,\\ 4x+1\le -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge 1,\\ x\le -\frac{3}{2} \end{cases} $$$$ x\in (-\infty;-\frac{3}{2}] \cup [1;+\infty). $$
Если $$a
$$ a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)>0, $$
следовательно, $$a^4>b^4$$.
$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le 2,\qquad ab>0. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{a^2+b^2}{ab}\le 2 \Rightarrow a^2+b^2\le 2ab \Rightarrow (a-b)^2\le 0. $$
Но $$ (a-b)^2\ge 0 $$, значит равенство возможно только при $$a=b$$. В общем случае неравенство неверно; при $$ab>0$$ верно противоположное:
$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2. $$
$$ $$Точки графика $$y=\frac{1}{2}x-8$$ лежат ниже точек графика $$y=-\frac{3}{2}x+5$$, если
$$ \frac{1}{2}x-8<-\frac{3}{2}x+5. $$
$$ 2x<13,\qquad x<6{,}5. $$
$$ -1\le 5-0{,}2x\le 3 $$
$$ \begin{cases} 5-0{,}2x\ge -1,\\ 5-0{,}2x\le 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\le 30,\\ x\ge 10 \end{cases} $$
$$ x\in [10;30]. $$
$$ |4x-3|<3x+1. $$
Так как правая часть должна быть положительной, то $$3x+1>0$$.
$$ \begin{cases} 4x-3<3x+1,\\ 4x-3>-(3x+1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<4,\\ 7x>2 \end{cases} $$
$$ x\in \left(\frac{2}{7};4\right). $$
Ответ
- $$b\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne -2$$
- а) $$\frac{1}{a}$$; б) $$\frac{4ab}{a^2-b^2}$$; в) $$4$$; г) $$\frac{a-b}{b}$$
- $$\frac{1}{x-3}$$, при $$x=\frac{8}{3}$$ значение равно $$-3$$
- $$a\ne -4,\ b$$ — любое число, $$c\ne 0,\ c\ne 2$$
- $$\frac{3x+2y}{5(3x-2y)}$$, при данных значениях $$\frac{7}{5}$$
- верно
- $$2(x-3)$$
- $$x=-3$$
- а) $$a\ne 0,\ b\ne 0$$; б) $$b\ne 0$$; в) $$a\ne \pm 3$$
- а) $$5$$ при $$a>0$$, $$-5$$ при $$a<0$$; б) $$2$$ при $$a>1$$, $$-2$$ при $$a<1$$
- не может быть равно $$0$$
- $$0$$
- $$x=\frac{3}{2(3a+1)},\ a\ne -\frac{1}{3}$$
- 1) верно при любом $$x$$; 2) а) $$x<2{,}4$$, б) $$x\ge -15$$, в) $$x<5$$; 3) а) $$\left(\frac{13}{3};\frac{25}{4}\right)$$, б) $$[3;+\infty)$$, в) $$(-\infty;-5)$$; 4) верно; 5) верно; 6) а) $$x<\frac{8}{3}$$, б) $$x\ge 13$$; 7) а) $$\left(-\frac{9}{2};\frac{14}{5}\right)$$, б) $$[0{,}875;+\infty)$$; 8) а) $$(-6;10)$$, б) $$(-\infty;-\frac{3}{2}] \cup [1;+\infty)$$; 9) верно; 10) неверно, верно $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$$; 11) $$x<6{,}5$$; 12) $$[10;30]$$; 13) $$\left(\frac{2}{7};4\right)$$
