Проверь себя Глава 1 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Для дроби $$\frac{a}{b}$$ знаменатель не должен быть равен нулю, значит $$b \ne 0$$.

   Для дроби $$\frac{3}{a-1}$$ нужно $$a-1 \ne 0$$, то есть $$a \ne 1$$.

   Для дроби $$\frac{a}{b+2}$$ нужно $$b+2 \ne 0$$, то есть $$b \ne -2$$.

2. а) $$4a+\frac{1-4a^2}{a}=\frac{4a^2+1-4a^2}{a}=\frac{1}{a}.$$

   б)
   $$\frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b} =\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} =\frac{4ab}{a^2-b^2}.$$

   в)
   $$\frac{2a-4}{3b}\cdot\frac{6b}{a-2} =\frac{2(a-2)}{3b}\cdot\frac{6b}{a-2}=4.$$

   г)
   $$\frac{a^2-b^2}{b^2}:\frac{a+b}{b} =\frac{(a-b)(a+b)}{b^2}\cdot\frac{b}{a+b} =\frac{a-b}{b}.$$

3. $$\frac{1+2x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{5}\cdot\frac{10}{x^2-9} =\frac{1+2x}{x-3}-\frac{x(x+3)\cdot 10}{5(x-3)(x+3)} =\frac{1+2x}{x-3}-\frac{2x}{x-3} =\frac{1}{x-3}.$$

   При $$x=2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$$:

   $$\frac{1}{x-3}=\frac{1}{\frac{8}{3}-3}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3.$$

4. Для дроби $$\frac{a-4}{a+4}$$ нужно $$a+4 \ne 0$$, то есть $$a \ne -4$$.

   Для дроби $$\frac{2b}{b^2+1}$$ знаменатель $$b^2+1$$ всегда положителен, поэтому $$b$$ — любое число.

   Для дроби $$\frac{7}{c(c-2)}$$ нужно $$c(c-2)\ne 0$$, значит $$c \ne 0$$ и $$c \ne 2$$.

5. $$\frac{9x^2-4y^2}{20y^2-60xy+45x^2} =\frac{(3x-2y)(3x+2y)}{5(3x-2y)^2} =\frac{3x+2y}{5(3x-2y)}.$$

   При $$x=\frac{2}{3}$$, $$y=0{,}75=\frac{3}{4}$$:

   $$\frac{3x+2y}{5(3x-2y)} =\frac{3\cdot \frac{2}{3}+2\cdot \frac{3}{4}}{5\left(3\cdot \frac{2}{3}-2\cdot \frac{3}{4}\right)} =\frac{2+\frac{3}{2}}{5\left(2-\frac{3}{2}\right)} =\frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}} =\frac{7}{5}.$$

6. $$\frac{2-a}{a+2}+\frac{2a}{2-a}+\frac{4a^2}{a^2-4}=1.$$

   ОДЗ: $$a \ne -2$$, $$a \ne 2$$.

   Приведём к общему знаменателю $$a^2-4=(a-2)(a+2)$$:

   $$\frac{(2-a)(a-2)-2a(a+2)+4a^2}{a^2-4} =\frac{a^2-4}{a^2-4}=1.$$

7. $$\left(x+3+\frac{18}{x-3}\right)\cdot\frac{2x^2-12x+18}{x^2+9}$$

   $$=\left(\frac{(x+3)(x-3)+18}{x-3}\right)\cdot\frac{2(x-3)^2}{x^2+9} =\frac{x^2+9}{x-3}\cdot\frac{2(x-3)^2}{x^2+9} =2(x-3).$$

8. $$\frac{(x-3)^2}{12}-\frac{2x^2+5}{4}+\frac{1{,}25x^2-1}{3}=\frac{2}{3}.$$

   Умножим на $$12$$:

   $$(x-3)^2-3(2x^2+5)+4(1{,}25x^2-1)=8.$$

   $$x^2-6x+9-6x^2-15+5x^2-4=8$$

   $$-6x-10=8,\qquad -6x=18,\qquad x=-3.$$

9. а) Для дроби $$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$$ нужно $$a^2+b^2 \ne 0$$, то есть одновременно $$a \ne 0$$ и $$b \ne 0$$.

   б) Для дроби $$\frac{1-b}{|b|}$$ нужно $$|b| \ne 0$$, значит $$b \ne 0$$.

   в) Для дроби $$\frac{9}{a^2-9}$$ нужно $$a^2-9 \ne 0$$, то есть $$a \ne \pm 3$$.

10. а)
    $$\frac{5a}{|a|}= \begin{cases} 5, & a>0,\\ -5, & a<0. \end{cases}$$

    б)
    $$\frac{2|a-1|}{a-1}= \begin{cases} 2, & a>1,\\ -2, & a<1. \end{cases}$$

11. $$\frac{x-3}{x^2-10x+25}-\frac{3-4x}{10x-25-x^2}+\frac{4x-5}{(5-x)^2}$$

    Так как $$x^2-10x+25=(x-5)^2$$, а $$10x-25-x^2=-(x-5)^2$$, получаем:

    $$\frac{x-3}{(x-5)^2}+\frac{3-4x}{(x-5)^2}+\frac{4x-5}{(x-5)^2} =\frac{x-5}{(x-5)^2} =\frac{1}{x-5}.$$

    При допустимых значениях $$x$$ это выражение не может быть равно $$0$$.

12. $$\frac{3m^{3n}}{m^{3n}+n^{3n}}\cdot\frac{m^n+n^n}{m^n} -\frac{3m^{2n}}{m^{2n}-m^nn^n+n^{2n}}$$

    После сокращения получаем:

    $$\frac{3m^{2n}}{m^{2n}-m^nn^n+n^{2n}} -\frac{3m^{2n}}{m^{2n}-m^nn^n+n^{2n}}=0.$$

13. $$\frac{(x+a)^2}{2}-\frac{(x-a)^2}{4}+\frac{x}{2}=\frac{a^2+x^2+3}{4}.$$

    Умножим на $$4$$:

    $$2(x+a)^2-(x-a)^2+2x=a^2+x^2+3.$$

    $$2(x^2+2ax+a^2)-(x^2-2ax+a^2)+2x=a^2+x^2+3$$

    $$2x^2+4ax+2a^2-x^2+2ax-a^2+2x=a^2+x^2+3$$

    $$6ax+2x=3,\qquad 2x(3a+1)=3.$$

    $$x=\frac{3}{2(3a+1)}, \qquad a\ne -\frac{1}{3}.$$

14. $$\frac{1}{2}x(2x-4)\ge (x-2)x$$

    $$x^2-2x\ge x^2-2x,$$

    верно при любом $$x$$.

15. а)
    $$12-5x>0 \Rightarrow x<\frac{12}{5}=2{,}4.$$

    б)
    $$3x-7\le 4(x+2)\Rightarrow 3x-7\le 4x+8 \Rightarrow x\ge -15.$$

    в)
    $$\frac{x}{2}+\frac{3-x}{4}<2 \Rightarrow 2x+3-x<8 \Rightarrow x<5.$$

16. а)
    $$\begin{cases} 3x-13>0,\\ 25-4x>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>\frac{13}{3},\\ x<\frac{25}{4} \end{cases}$$

    $$x\in \left(\frac{13}{3};\frac{25}{4}\right).$$

    б)
    $$\begin{cases} 4x-13\ge 3x-10,\\ 11-4x\le 12-3x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge 3,\\ x\ge -1 \end{cases}$$

    $$x\in [3;+\infty).$$

    в)
    $$\begin{cases} 5x+3<3x-7,\\ 1-2x>x+4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-5,\\ x<-1 \end{cases}$$

    $$x\in (-\infty;-5).$$

17. $$(a-2)(a^2+a+4)=a^3-8.$$

    Так как $$a^3-8

    $$(a-2)(a^2+a+4)

18. Если $$a>5$$, $$b>1$$, $$c>3$$, то

    $$2a+3bc>2\cdot 5+3\cdot 1\cdot 3=19.$$

    Значит, тем более $$2a+3bc>15$$.

19. а)
    $$\frac{-5{,}6}{3x-8}>0.$$

    Числитель отрицателен, значит знаменатель должен быть отрицательным:

    $$3x-8<0 \Rightarrow x<\frac{8}{3}.$$

    б)
    $$\frac{x+5}{2}-1\le \frac{3x-7}{4}$$

    $$2x+10-4\le 3x-7 \Rightarrow 2x+6\le 3x-7 \Rightarrow x\ge 13.$$

20. а)
    $$\begin{cases} 9x+5>7x-4,\\ 15-2x>3x+1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-\frac{9}{2},\\ x<\frac{14}{5} \end{cases}$$

    $$x\in \left(-\frac{9}{2};\frac{14}{5}\right).$$

    б)
    $$\begin{cases} 0{,}6x-1{,}2<1{,}1x+2{,}1,\\ 2{,}3+1{,}7x\ge 1{,}5x+3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-6{,}6,\\ x\ge 0{,}875 \end{cases}$$

    $$x\in [0{,}875;+\infty).$$

21. а)
    $$|x-2|<8 \Rightarrow -8

    б)
    $$|4x+1|\ge 5 \Rightarrow \begin{cases} 4x+1\ge 5,\\ 4x+1\le -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge 1,\\ x\le -\frac{3}{2} \end{cases}$$

    $$x\in (-\infty;-\frac{3}{2}] \cup [1;+\infty).$$

22. Если $$a|b|$$, значит $$a^2>b^2$$. Тогда

    $$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)>0,$$

    следовательно, $$a^4>b^4$$.

23. $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le 2,\qquad ab>0.$$

    Приведём к общему знаменателю:

    $$\frac{a^2+b^2}{ab}\le 2 \Rightarrow a^2+b^2\le 2ab \Rightarrow (a-b)^2\le 0.$$

    Но $$(a-b)^2\ge 0$$, значит равенство возможно только при $$a=b$$. В общем случае неравенство неверно; при $$ab>0$$ верно противоположное:

    $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$
    $$$$

24. Точки графика $$y=\frac{1}{2}x-8$$ лежат ниже точек графика $$y=-\frac{3}{2}x+5$$, если

    $$\frac{1}{2}x-8<-\frac{3}{2}x+5.$$

    $$2x<13,\qquad x<6{,}5.$$

25. $$-1\le 5-0{,}2x\le 3$$

    $$\begin{cases} 5-0{,}2x\ge -1,\\ 5-0{,}2x\le 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\le 30,\\ x\ge 10 \end{cases}$$

    $$x\in [10;30].$$

26. $$|4x-3|<3x+1.$$

    Так как правая часть должна быть положительной, то $$3x+1>0$$.

    $$\begin{cases} 4x-3<3x+1,\\ 4x-3>-(3x+1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<4,\\ 7x>2 \end{cases}$$

    $$x\in \left(\frac{2}{7};4\right).$$

Ответ

1. $$b\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne -2$$
2. а) $$\frac{1}{a}$$; б) $$\frac{4ab}{a^2-b^2}$$; в) $$4$$; г) $$\frac{a-b}{b}$$
3. $$\frac{1}{x-3}$$, при $$x=\frac{8}{3}$$ значение равно $$-3$$
4. $$a\ne -4,\ b$$ — любое число, $$c\ne 0,\ c\ne 2$$
5. $$\frac{3x+2y}{5(3x-2y)}$$, при данных значениях $$\frac{7}{5}$$
6. верно
7. $$2(x-3)$$
8. $$x=-3$$
9. а) $$a\ne 0,\ b\ne 0$$; б) $$b\ne 0$$; в) $$a\ne \pm 3$$
10. а) $$5$$ при $$a>0$$, $$-5$$ при $$a<0$$; б) $$2$$ при $$a>1$$, $$-2$$ при $$a<1$$
11. не может быть равно $$0$$
12. $$0$$
13. $$x=\frac{3}{2(3a+1)},\ a\ne -\frac{1}{3}$$
14. 1) верно при любом $$x$$; 2) а) $$x<2{,}4$$, б) $$x\ge -15$$, в) $$x<5$$; 3) а) $$\left(\frac{13}{3};\frac{25}{4}\right)$$, б) $$[3;+\infty)$$, в) $$(-\infty;-5)$$; 4) верно; 5) верно; 6) а) $$x<\frac{8}{3}$$, б) $$x\ge 13$$; 7) а) $$\left(-\frac{9}{2};\frac{14}{5}\right)$$, б) $$[0{,}875;+\infty)$$; 8) а) $$(-6;10)$$, б) $$(-\infty;-\frac{3}{2}] \cup [1;+\infty)$$; 9) верно; 10) неверно, верно $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$$; 11) $$x<6{,}5$$; 12) $$[10;30]$$; 13) $$\left(\frac{2}{7};4\right)$$