Проверь себя Глава 6 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

а) x^2-0,04?0; б) 0,01x^2-9>0;
в) x^2-3x-4<0; г) 3x^2-4x+8?0; д)-x^2+3x-5>0; е) x^2+20x+100?0.
2. Решить методом интервалов неравенство:
x(x-1)(x+2)?0.
3. Решить неравенство:
а) (8x-1)/(5-x)?0; б) 2x(x-3)+16?3x(5-x);
в) x(2x-5)+4?x(7-3x); г) x^2/3-(3x-10)/4<2x/3. 4. Решить методом интервалов неравенство: (x^2-2x-15)/(x^2+6x)?0. 5. Решить неравенство: а) 2(x-7)^2-18?0; б) (x+5)^2?16. 6. Решить систему неравенств {(2x^2+x-15>0
7x+30?0)+
7. При каких значениях q решениями неравенства x^2+4x+q>0 являются все действительные числа?
8. Решить методом интервалов неравенство ((x-5) (x+3)^3)/(x^2+2x+1)?0
9. Для каждого значения a решит неравенство x^2-2ax>2a-2a^2-1.

Подробный ответ

а) $$x^2-0{,}04\le 0$$
$$x^2\le 0{,}04$$
$$-0{,}2\le x\le 0{,}2$$
Ответ: $$[-0{,}2;0{,}2]$$.
б) $$0{,}01x^2-9>0$$
$$0{,}01x^2>9$$
$$x^2>900$$
$$x<-30 \text{ или } x>30$$
Ответ: $$(-\infty;-30)\cup(30;+\infty)$$.
в) $$x^2-3x-4<0$$
$$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$$
Корни: $$x=-1$$ и $$x=4$$.
Ответ: $$(-1;4)$$.
г) $$3x^2-4x+8\ge 0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 8=16-96=-80<0$$
Так как $$a=3>0$$, то $$3x^2-4x+8>0$$ при любом $$x$$.
Ответ: $$x$$ — любое число.
д) $$-x^2+3x-5>0$$
$$x^2-3x+5<0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0$$
Левая часть всегда положительна, значит решений нет.
Ответ: решений нет.
е) $$x^2+20x+100\le 0$$
$$x^2+20x+100=(x+10)^2$$
$$ (x+10)^2\le 0$$
Следовательно, $$x+10=0$$, то есть $$x=-10$$.
Ответ: $$x=-10$$.
$$x(x-1)(x+2)\ge 0$$
Нули: $$x=-2,\;0,\;1$$.
По методу интервалов получаем:
Ответ: $$[-2;0]\cup[1;+\infty)$$.
а) $$\dfrac{8x-1}{5-x}\le 0$$
Критические точки: $$x=\dfrac18,\;x=5$$, причём $$x=5$$ не входит в область определения.
Ответ: $$(-\infty;\tfrac18]\cup(5;+\infty)$$.
б) $$2x(x-3)+16\ge 3x(5-x)$$
$$2x^2-6x+16\ge 15x-3x^2$$
$$5x^2-21x+16\ge 0$$
$$D=21^2-4\cdot 5\cdot 16=441-320=121$$
$$x_1=1,\quad x_2=\dfrac{16}{5}=3{,}2$$
Ответ: $$(-\infty;1]\cup[3{,}2;+\infty)$$.
в) $$x(2x-5)+4\le x(7-3x)$$
$$2x^2-5x+4\le 7x-3x^2$$
$$5x^2-12x+4\le 0$$
$$D=144-80=64$$
$$x_1=0{,}4,\quad x_2=2$$
Ответ: $$[0{,}4;2]$$.
г) $$\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{3x-10}{4}<\dfrac{2x}{3}$$
Умножим на $$12$$:
$$4x^2-3(3x-10)<8x$$
$$4x^2-17x+30<0$$
$$D=(-17)^2-4\cdot 4\cdot 30=289-480=-191<0$$
Так как $$a>0$$, неравенство решений не имеет.
Ответ: решений нет.
$$\dfrac{x^2-2x-15}{x^2+6x}\le 0$$
$$\dfrac{(x-5)(x+3)}{x(x+6)}\le 0$$
Критические точки: $$x=-6,\,-3,\,0,\,5$$.
С учётом знаков на промежутках получаем:
Ответ: $$(-6;-3]\cup(0;5]$$.
а) $$2(x-7)^2-18\le 0$$
$$2(x^2-14x+49)-18\le 0$$
$$x^2-14x+40\le 0$$
$$x_1=4,\quad x_2=10$$
Ответ: $$[4;10]$$.
б) $$(x+5)^2\ge 16$$
$$x^2+10x+25-16\ge 0$$
$$x^2+10x+9\ge 0$$
$$x_1=-9,\quad x_2=-1$$
Ответ: $$(-\infty;-9]\cup[-1;+\infty)$$.
$$ \begin{cases} 2x^2+x-15>0,\\ 7x+30\ge 0 \end{cases} $$
$$2x^2+x-15=(2x-5)(x+3)$$
$$x<-3 \text{ или } x>\dfrac52$$
$$7x+30\ge 0 \Rightarrow x\ge -\dfrac{30}{7}$$
Пересечение решений:
Ответ: $$\left[-\dfrac{30}{7};-3\right)\cup\left(\dfrac52;+\infty\right)$$.
Чтобы неравенство $$x^2+4x+q>0$$ выполнялось при всех действительных $$x$$, нужно, чтобы квадратный трёхчлен не имел действительных корней и его старший коэффициент был положительным.
$$D=4^2-4q=16-4q<0$$
$$q>4$$
Ответ: при $$q>4$$.
$$\dfrac{(x-5)(x+3)^3}{x^2+2x+1}\ge 0$$
$$x^2+2x+1=(x+1)^2$$, поэтому $$x\ne -1$$.
Точки смены знака: $$x=-3,\,-1,\,5$$.
С учётом чётной степени в знаменателе получаем:
Ответ: $$[-3;-1)\cup(-1;5]$$.
$$x^2-2ax>2a-2a^2-1$$
$$x^2-2ax+a^2>2a-2a^2-1+a^2$$
$$ (x-a)^2>-(a-1)^2$$
Так как $$ (x-a)^2\ge 0$$, а $$-(a-1)^2\le 0$$, то неравенство выполняется при любом $$x$$, если $$a\ne 1$$.
При $$a=1$$ получаем $$ (x-1)^2>0$$, то есть $$x\ne 1$$.
Ответ:
если $$a\ne 1$$, то $$x$$ — любое число;
если $$a=1$$, то $$x\ne 1$$.