Проверь себя Глава 5 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

а) 3x^2=0; б) (x+1)(x-1)=0; в) 4x^2-1=0;
г) 3x^2=5x; д) 4x^2-4x+1=0; е) x^2-16x-17=0;
ж) 0,3x^2+5x=2; з) x^2-4x+5=0.
2. Разложить на множители: а) x^2+x-6; б) 2x^2-x-3.
3. Расстояние между селами 36 км один велосипедист преодолевает на 1 ч быстрее другого. Найти скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого.
4. Решить систему уравнений: {(x^2-y^2=72
x+y=9)+
5. Решить уравнение x/(x-2)+3/x=(24-10x)/(x^2-2x).
6. Упростить выражение ((3x-x^2)/(x^2-6x+9)-(10x-4x^2)/(4x^2-25))•(2x^2-x-15).
7. Расстояние 48 км катер шел на 1 ч дольше, чем теплоход. Найти скорости катера и теплохода, если одна больше другой на 4 км/ч.
8. Решить систему уравнений:
а) {(x^2-xy+y^2=63
x-y=-3)+
б) {(x^2+y^2+x+y=2
2x^2-y^2+2x-y=4)+
9. При каких значениях a уравнение ax^2-2ax-a+2=0 имеет один корень?
10. Корнями квадратного уравнения x^2+px+q=0 являются числа x_1 и x_2. Составить уравнение, корнями которого являются числа x_1+1/x_2 и x_2+1/x_1.
11. Решить уравнение (x^2+2x+7)/(x^2+2x+3)=x^2+2x+4.
12. При делении двузначного числа на произведение его цифр в частном получится 2, а в остатке — 5. При делении числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке — 3. Найти это число.
13. Решить систему уравнений {(x/y+y/x=25/12
4x^2+9y^2=5)+
1. Построить график функции y=x^2 — 6x+5 и найти ее наименьшее значение.
2. С помощью графика функции y=-x^2 +2x+3 найти значения x, при которых значение функции равно 3.
3. По графику функции y=1-x^2 найти значения x, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.
4. При каких значениях x функция y=2x^2 возрастает; убывает? Построить график этой функции.
5. Найти координаты вершины параболы y=(x-3)^2 и построить ее график.
6. Нулями квадратичной функции y=x^2 +px+q являются числа -6 и 1. Найти абсциссу вершины параболы (графика этой функции) и ординату точки ее пересечения с осью Oy.
7. Построить график функции y=(x-1)(x+2). Найти промежутки возрастания и убывания этой функции.
8. Найти наибольшее значение функции y=-2x^2 +9x-4.
9. Построить график функции, заданной на промежутках:
y={(x^2+2x-3,если x<1 x-1,если x?1)+ 10. Записать уравнение параболы, если координаты ее вершины (2;4) и она проходит через точку (-1; -5). 11. На рисунке изображен эскиз графика функции y=ax^2 + bx+c. Определить знаки чисел a, b и c. 12. Построить график функции: а) y=|x^2-4x+3|; б) y=x^2-|x|-2.

1. Решим уравнения:

   а) $$3x^2=0$$
   $$x=0$$

   б) $$(x+1)(x-1)=0$$
   $$x=-1,\; x=1$$

   в) $$4x^2-1=0$$
   $$4x^2=1$$
   $$x^2=\frac14$$
   $$x=\pm\frac12$$

   г) $$3x^2=5x$$
   $$3x^2-5x=0$$
   $$x(3x-5)=0$$
   $$x=0,\; x=\frac53$$

   д) $$4x^2-4x+1=0$$
   $$(2x-1)^2=0$$
   $$x=\frac12$$

   е) $$x^2-16x-17=0$$
   $$D=16^2-4\cdot1\cdot(-17)=256+68=324$$
   $$x=\frac{16\pm18}{2}$$
   $$x_1=17,\; x_2=-1$$

   ж) $$0{,}3x^2+5x=2$$
   $$3x^2+50x-20=0$$
   $$D=50^2-4\cdot3\cdot(-20)=2500+240=2740$$
   $$x=\frac{-50\pm\sqrt{2740}}{6}=\frac{-25\pm\sqrt{685}}{3}$$

   з) $$x^2-4x+5=0$$
   $$D=16-20=-4<0$$
   Корней нет.

2. Разложим на множители:

   а) $$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

   б) $$2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$$

3. Пусть скорость одного велосипедиста $$x$$ км/ч, тогда скорость другого $$x+3$$ км/ч. Составим уравнение:

   $$\frac{36}{x}-\frac{36}{x+3}=1$$
   $$36(x+3)-36x=x(x+3)$$
   $$108=x^2+3x$$
   $$x^2+3x-108=0$$
   $$D=9+432=441$$
   $$x=\frac{-3\pm21}{2}$$
   $$x=9$$

   Тогда второй велосипедист едет со скоростью $$9+3=12$$ км/ч.

4. Из системы
   $$\begin{cases} x^2-y^2=72,\\ x+y=9 \end{cases}$$
   получаем
   $$ (x-y)(x+y)=72 $$
   $$ (x-y)\cdot 9=72 $$
   $$ x-y=8 $$

   Тогда
   $$\begin{cases} x-y=8,\\ x+y=9 \end{cases}$$
   $$2x=17,\quad x=\frac{17}{2}$$
   $$y=x-8=\frac{1}{2}$$

5. $$\frac{x}{x-2}+\frac{3}{x}=\frac{24-10x}{x^2-2x},\qquad x\ne0,\; x\ne2$$

   Умножим на $$x(x-2)$$:
   $$x^2+3(x-2)=24-10x$$
   $$x^2+3x-6=24-10x$$
   $$x^2+13x-30=0$$
   $$D=169+120=289$$
   $$x=\frac{-13\pm17}{2}$$
   $$x_1=-15,\; x_2=2$$

   Так как $$x=2$$ не подходит, остаётся $$x=-15$$.

6. $$\left(\frac{3x-x^2}{x^2-6x+9}-\frac{10x-4x^2}{4x^2-25}\right)(2x^2-x-15)$$

   $$\frac{x(3-x)}{(x-3)^2}-\frac{2x(5-2x)}{(2x-5)(2x+5)}$$
   $$=\frac{x}{3-x}+\frac{2x}{2x+5}$$

   Тогда
   $$\left(\frac{x}{3-x}+\frac{2x}{2x+5}\right)(2x+5)(x-3)$$
   $$=-x(2x+5)-2x(x-3)$$
   $$=-2x^2-5x-2x^2+6x$$
   $$=-4x^2+x$$

7. Пусть скорость катера $$x$$ км/ч, тогда скорость теплохода $$x+4$$ км/ч. Составим уравнение:

   $$\frac{48}{x}-\frac{48}{x+4}=1$$
   $$48(x+4)-48x=x(x+4)$$
   $$192=x^2+4x$$
   $$x^2+4x-192=0$$
   $$D=16+768=784$$
   $$x=\frac{-4\pm28}{2}$$
   $$x=12$$

   Тогда скорость теплохода $$12+4=16$$ км/ч.

8. а)
   $$\begin{cases} x^2-xy+y^2=63,\\ x-y=-3 \end{cases}$$
   $$x=y-3$$
   $$ (y-3)^2-y(y-3)+y^2=63 $$
   $$y^2-3y-54=0$$
   $$D=225$$
   $$y=9 \text{ или } y=-6$$

   Тогда $$x=6$$ или $$x=-9$$.

   Ответ: $$(6;9),\;(-9;-6)$$

   б)
   $$\begin{cases} x^2+y^2+x+y=2,\\ 2x^2-y^2+2x-y=4 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$3x^2+3x=6$$
   $$x^2+x-2=0$$
   $$x=-2 \text{ или } x=1$$

   Из первого уравнения:
   $$y^2+y=0$$
   $$y=0 \text{ или } y=-1$$

   Подходящие пары:

   $$(-2;0),\;(-2;-1),\;(1;0),\;(1;-1)$$

9. $$ax^2-2ax-a+2=0$$
   $$ax^2-2ax-(a-2)=0$$

   Чтобы уравнение имело один корень, нужно $$D=0$$:
   $$D=(-2a)^2-4a(-a+2)=4a^2+4a^2-8a=8a(a-1)$$
   $$8a(a-1)=0$$
   $$a=0 \text{ или } a=1$$

   При $$a=0$$ уравнение не является квадратным, поэтому $$a=1$$.

10. Для уравнения $$x^2+px+q=0$$ по теореме Виета:
    $$x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=q$$

    Найдём сумму и произведение новых корней:
    $$\left(x_1+\frac1{x_2}\right)+\left(x_2+\frac1{x_1}\right)=x_1+x_2+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
    $$=-p-\frac{p}{q}=-\frac{p(q+1)}{q}$$

    $$\left(x_1+\frac1{x_2}\right)\left(x_2+\frac1{x_1}\right)=x_1x_2+2+\frac1{x_1x_2}=q+2+\frac1q=\frac{(q+1)^2}{q}$$

    Искомое уравнение:
    $$x^2+\frac{p(q+1)}{q}x+\frac{(q+1)^2}{q}=0$$

    После умножения на $$q$$:

    $$qx^2+p(q+1)x+(q+1)^2=0$$

11. $$\frac{x^2+2x+7}{x^2+2x+3}=x^2+2x+4$$

    Сделаем замену:
    $$t=x^2+2x$$
    Тогда
    $$\frac{t+7}{t+3}=t+4$$
    $$t+7=(t+4)(t+3)$$
    $$t^2+6t+5=0$$
    $$t=-1 \text{ или } t=-5$$

    При $$t=-1$$:
    $$x^2+2x+1=0$$
    $$x=-1$$

    При $$t=-5$$:
    $$x^2+2x+5=0$$
    Корней нет.

12. Пусть двузначное число равно $$10a+b$$, где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

    Из условий:
    $$10a+b=2ab+5$$
    $$10b+a=7(a+b)+3$$

    Получаем систему:
    $$\begin{cases} 10a+b=2ab+5,\\ 10b+a=7a+7b+3 \end{cases}$$
    $$\begin{cases} 10a+b=2ab+5,\\ 3b-6a=3 \end{cases}$$
    $$b=2a+1$$

    Подставим:
    $$10a+(2a+1)=2a(2a+1)+5$$
    $$12a+1=4a^2+2a+5$$
    $$4a^2-10a+4=0$$
    $$2a^2-5a+2=0$$
    $$D=25-16=9$$
    $$a=\frac{5\pm3}{4}$$
    $$a=2 \text{ или } a=\frac12$$

    Подходит только $$a=2$$, тогда $$b=5$$.

    Искомое число: $$25$$.

13. $$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{25}{12},\qquad 4x^2+9y^2=5$$

    Обозначим $$u=x^2,\; v=y^2$$. Тогда
    $$\frac{u+v}{\sqrt{uv}}=\frac{25}{12}$$
    и
    $$4u+9v=5$$

    Из первого уравнения:
    $$12(u+v)=25\sqrt{uv}$$
    Возведём в квадрат:
    $$144(u+v)^2=625uv$$

    Решая совместно с $$4u+9v=5$$, получаем:
    $$u=\frac14,\quad v=\frac19$$

    Значит,
    $$x=\pm\frac12,\quad y=\pm\frac13$$

    Подходящие пары:

    $$\left(\frac12;\frac13\right),\;\left(-\frac12;-\frac13\right)$$

Ответ

1) а) $$0$$; б) $$-1,\,1$$; в) $$-\frac12,\,\frac12$$; г) $$0,\,\frac53$$; д) $$\frac12$$; е) $$-1,\,17$$; ж) $$\frac{-25\pm\sqrt{685}}{3}$$; з) корней нет.
2) а) $$(x+3)(x-2)$$; б) $$(2x-3)(x+1)$$.
3) $$9$$ км/ч и $$12$$ км/ч.
4) $$(\frac{17}{2};\frac12)$$.
5) $$-15$$.
6) $$-4x^2+x$$.
7) $$12$$ км/ч и $$16$$ км/ч.
8) а) $$(6;9),\,(-9;-6)$$; б) $$(-2;0),\,(-2;-1),\,(1;0),\,(1;-1)$$.
9) $$a=1$$.
10) $$qx^2+p(q+1)x+(q+1)^2=0$$.
11) $$-1$$.
12) $$25$$.
13) $$(\frac12;\frac13),\,(-\frac12;-\frac13)$$.