Проверь себя Глава 4 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

2. Вычислить: а) v(81•49); б) v(0,3•120); в) v125/v5; г) v(2 1/4); д) v((-17)^2 ); е) v(3^6 ).
3. Упростить выражение:
а) 3v8+v2-3v18;
б) (v5-v2)^2;
в) (2-v3)(2+v3).
4. Вынести множитель из-под знака корня: v(8a^3 ),a?0.
5. Сократить дробь: а) (x^2-3)/(x+v3); б) (vx+vy)/(x-y).
6. Исключить иррациональность из знаменателя: а) 5/v7; б) 1/(2+v3).
7. Сравнить: а) 4,6 и v22; б) 2v37 и 5v6.
8. Упростить выражение: а) (5v3-v15)/(v5-1); б) (v27+v12+5)(1-v3); в) (2v6-3v3)/(1-v2)^2 ; г) v(4(x-y)^2 )/(x-y) при x0.
10. Сократить дробь (1-2vx+x)/(x-1),если x>1.
11. Исключить иррациональность из знаменателя: (v2+1)/(v2-1).
12. Найти наименьшее целое число, больше чем v17.
13. Извлечь корень из произведения: v(2x•5y•8x•20y).
14. Упростить выражение: а) v((v6-v8)^2 )/(v3-2); б) (4/(x-y)-(vx+vy)/(xvy-yvx)) :(vxy-x)/vy
15. Исключить иррациональность из знаменателя: а) (x-7)/(v(x+2)-3); б) 2/(v2+v(6+4v2) ).
16. Решить уравнение v((3x-8)^2 )=8-3x.
1. Решить уравнение:
а) 3x^2=0; б) (x+1)(x-1)=0; в) 4x^2-1=0;
г) 3x^2=5x; д) 4x^2-4x+1=0; е) x^2-16x-17=0;
ж) 0,3x^2+5x=2; з) x^2-4x+5=0.
2. Разложить на множители: а) x^2+x-6; б) 2x^2-x-3.
3. Расстояние между селами 36 км один велосипедист преодолевает на 1 ч быстрее другого. Найти скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого.
4. Решить систему уравнений: {(x^2-y^2=72
x+y=9)+
5. Решить уравнение x/(x-2)+3/x=(24-10x)/(x^2-2x).
6. Упростить выражение ((3x-x^2)/(x^2-6x+9)-(10x-4x^2)/(4x^2-25))•(2x^2-x-15).
7. Расстояние 48 км катер шел на 1 ч дольше, чем теплоход. Найти скорости катера и теплохода, если одна больше другой на 4 км/ч.
8. Решить систему уравнений:
а) {(x^2-xy+y^2=63
x-y=-3)+
б) {(x^2+y^2+x+y=2
2x^2-y^2+2x-y=4)+
9. При каких значениях a уравнение ax^2-2ax-a+2=0 имеет один корень?
10. Корнями квадратного уравнения x^2+px+q=0 являются числа x_1 и x_2. Составить уравнение, корнями которого являются числа x_1+1/x_2 и x_2+1/x_1.
11. Решить уравнение (x^2+2x+7)/(x^2+2x+3)=x^2+2x+4.
12. При делении двузначного числа на произведение его цифр в частном получится 2, а в остатке — 5. При делении числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке — 3. Найти это число.
13. Решить систему уравнений {(x/y+y/x=25/12
4x^2+9y^2=5)+

1. Сравним числа:

   а) $$7 > \sqrt{48},$$ так как $$7=\sqrt{49} > \sqrt{48}.$$

   б) $$2\sqrt{3} < 3\sqrt{2},$$ так как $$\sqrt{12} < \sqrt{18}.$$

2. Вычислим:

   а) $$\sqrt{81\cdot 49}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{49}=9\cdot 7=63.$$

   б) $$\sqrt{0{,}3\cdot 120}=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6.$$

   в) $$\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25}=5.$$

   г) $$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

   д) $$\sqrt{(-17)^2}=17.$$

   е) $$\sqrt{3^6}=3^3=27.$$

3. Упростим выражения:

   а) $$3\sqrt{8}+\sqrt{2}-3\sqrt{18}=3\cdot 2\sqrt{2}+\sqrt{2}-3\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}+\sqrt{2}-9\sqrt{2}=-2\sqrt{2}.$$

   б) $$\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2=5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10}.$$

   в) $$\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1.$$

4. Вынесем множитель из-под знака корня:

   $$\sqrt{8a^3}=\sqrt{4a^2\cdot 2a}=2a\sqrt{2a}, \quad a\ge 0.$$

5. Сократим дробь:

   а) $$\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}=\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x+\sqrt{3}}=x-\sqrt{3}.$$

   б) $$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.$$

6. Исключим иррациональность из знаменателя:

   а) $$\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7}.$$

   б) $$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}.$$

7. Сравним:

   а) $$4{,}6 < \sqrt{22},$$ так как $$4{,}6^2=21{,}16 < 22.$$

   б) $$2\sqrt{37} > 5\sqrt{6},$$ так как $$4\cdot 37=148 > 25\cdot 6=150$$ неверно; значит сравним по квадратам правильно:

   $$\left(2\sqrt{37}\right)^2=148,\qquad \left(5\sqrt{6}\right)^2=150,$$

   следовательно, $$2\sqrt{37} < 5\sqrt{6}.$$

8. Упростим выражения:

   а) $$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}( \sqrt{15}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}-1}$$ — удобнее представить числитель как $$\sqrt{3}(5-\sqrt{5})$$, тогда после сокращения получаем $$\sqrt{15}.$$

   б) $$\left(\sqrt{27}+\sqrt{12}+5\right)(1-\sqrt{3})=(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}+5)(1-\sqrt{3})=(5\sqrt{3}+5)(1-\sqrt{3})=-10.$$

   в) $$\frac{2\sqrt{6}-3\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{3}(2\sqrt{2}-3)}{3-2\sqrt{2}}=-\sqrt{3}(2\sqrt{2}+3)=-2\sqrt{6}-3\sqrt{3}.$$

   г) $$\frac{\sqrt{4(x-y)^2}}{x-y}=\frac{2|x-y|}{x-y}=-2,\quad \text{так как } x<y.$$

9. Внесём множитель под знак корня:

   $$xy^2\sqrt{\frac{x}{y^3}}=\sqrt{x^2y^4\cdot \frac{x}{y^3}}=\sqrt{x^3y}.$$

10. Сократим дробь:

    $$\frac{1-2\sqrt{x}+x}{x-1}=\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1},\quad x>1.$$

11. Исключим иррациональность из знаменателя:

    $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt{2}.$$

12. Наименьшее целое число, большее чем $$\sqrt{17},$$ равно $$5.$$

13. Извлечём корень из произведения:

    $$\sqrt{2x\cdot 5y\cdot 8x\cdot 20y}=\sqrt{1600x^2y^2}=40xy.$$

14. Упростим выражения:

    а) $$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{8}}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-2)}{\sqrt{3}-2}=\sqrt{2}.$$

    б) $$\left(\frac{4}{x-y}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{xy}-x}{\sqrt{y}}=-11x.$$

15. Исключим иррациональность из знаменателя:

    а) $$\frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3}=\frac{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}{x-7}=\sqrt{x+2}+3.$$

    б) $$\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}}= \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2}= \frac{2}{2\sqrt{2}+2}= \frac{1}{\sqrt{2}+1}= \sqrt{2}-1.$$

16. Решим уравнение:

    $$\sqrt{(3x-8)^2}=8-3x.$$

    Так как $$\sqrt{(3x-8)^2}=|3x-8|,$$ получаем:

    $$|3x-8|=8-3x.$$

    Это возможно при $$8-3x\ge 0,$$ и тогда $$3x-8\le 0.$$ Следовательно, уравнение верно при любом $$x\le \frac{8}{3}.$$

17. Решим уравнения:

    а) $$3x^2=0 \Rightarrow x=0.$$

    б) $$(x+1)(x-1)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=1.$$

    в) $$4x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}.$$

    г) $$3x^2=5x \Rightarrow x(3x-5)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\frac{5}{3}.$$

    д) $$4x^2-4x+1=0 \Rightarrow (2x-1)^2=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}.$$

    е) $$x^2-16x-17=0 \Rightarrow x=17,\; x=-1.$$

    ж) $$0{,}3x^2+5x=2 \Rightarrow 3x^2+50x-20=0,$$

    $$D=50^2-4\cdot 3\cdot(-20)=2740,$$

    $$x=\frac{-50\pm \sqrt{2740}}{6}=\frac{-25\pm \sqrt{685}}{3}.$$

    з) $$x^2-4x+5=0,$$ корней нет, так как $$D=16-20=-4<0.$$

18. Разложим на множители:

    а) $$x^2+x-6=(x+3)(x-2).$$

    б) $$2x^2-x-3=(2x-3)(x+1).$$

19. Пусть скорость одного велосипедиста $$x$$ км/ч, тогда скорость второго $$x+3$$ км/ч. Составим уравнение:

    $$\frac{36}{x}-\frac{36}{x+3}=1.$$

    $$36(x+3)-36x=x(x+3)$$

    $$108=x^2+3x$$

    $$x^2+3x-108=0.$$

    $$D=9+432=441,\quad \sqrt{D}=21.$$

    $$x=\frac{-3+21}{2}=9,$$ тогда $$x+3=12.$$

20. Решим систему:

    а) $$\begin{cases}x^2-y^2=72 \\ x+y=9\end{cases}$$

    $$ (x-y)(x+y)=72,\quad x+y=9,$$

    $$x-y=8.$$

    Тогда

    $$\begin{cases}x-y=8 \\ x+y=9\end{cases}\Rightarrow x=8{,}5,\; y=0{,}5.$$

    б) $$\begin{cases}x^2+y^2+x+y=2 \\ 2x^2-y^2+2x-y=4\end{cases}$$

    Сложим уравнения:

    $$3x^2+3x=6 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-2 \text{ или } x=1.$$

    Из первого уравнения:

    $$y^2+y=0 \Rightarrow y=0 \text{ или } y=-1.$$

    Подходят пары:

    $$(-2;0),\; (-2;-1),\; (1;0),\; (1;-1).$$

21. Уравнение $$ax^2-2ax-a+2=0$$ имеет один корень, если $$D=0.$$

    $$D=(-2a)^2-4a(-a+2)=4a^2+4a^2-8a=8a(a-1).$$

    $$8a(a-1)=0 \Rightarrow a=0 \text{ или } a=1.$$

    При $$a=0$$ уравнение превращается в $$2=0,$$ что невозможно. Значит, $$a=1.$$

22. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0.$$ Тогда

    $$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

    Для новых корней:

    $$x_1+\frac{1}{x_2},\qquad x_2+\frac{1}{x_1}.$$

    Их сумма:

    $$\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)+\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)=x_1+x_2+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-p\left(1+\frac{1}{q}\right)=-\frac{p(q+1)}{q}.$$

    Их произведение:

    $$\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)=x_1x_2+2+\frac{1}{x_1x_2}=q+2+\frac{1}{q}=\frac{(q+1)^2}{q}.$$

    Искомое уравнение:

    $$x^2+\frac{p(q+1)}{q}x+\frac{(q+1)^2}{q}=0,$$

    или

    $$qx^2+p(q+1)x+(q+1)^2=0.$$

23. Решим уравнение:

    $$\frac{x^2+2x+7}{x^2+2x+3}=x^2+2x+4.$$

    Пусть $$t=x^2+2x.$$ Тогда

    $$\frac{t+7}{t+3}=t+4.$$

    $$t+7=(t+4)(t+3)$$

    $$t^2+6t+5=0$$

    $$t=-5 \text{ или } t=-1.$$

    1) $$x^2+2x=-5 \Rightarrow x^2+2x+5=0,$$ корней нет.

    2) $$x^2+2x=-1 \Rightarrow x^2+2x+1=0 \Rightarrow (x+1)^2=0,$$

    $$x=-1.$$

24. Пусть двузначное число равно $$10a+b.$$ Тогда по условию:

    $$10a+b=2ab+5,$$

    а для числа, записанного в обратном порядке,

    $$10b+a=7(a+b)+3.$$

    Получаем систему:

    $$\begin{cases}10a+b=2ab+5 \\ 10b+a=7(a+b)+3\end{cases}$$

    Из второго уравнения:

    $$10b+a=7a+7b+3 \Rightarrow 3b-6a=3 \Rightarrow b=2a+1.$$

    Подставим в первое:

    $$10a+(2a+1)=2a(2a+1)+5$$

    $$12a+1=4a^2+2a+5$$

    $$4a^2-10a+4=0$$

    $$2a^2-5a+2=0.$$

    $$D=25-16=9,$$

    $$a=\frac{5\pm 3}{4}.$$

    $$a=2 \text{ или } a=\frac{1}{2}.$$

    Так как $$a$$ — цифра, то $$a=2,$$ тогда $$b=5.$$

    Искомое число: $$25.$$

25. Решим систему:

    $$\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{25}{12} \\ 4x^2+9y^2=5\end{cases}$$

    Положим $$u=2x,$$ $$v=3y.$$ Тогда

    $$\frac{u}{v}+\frac{v}{u}=\frac{25}{12},\qquad u^2+v^2=5.$$

    Из первого уравнения:

    $$\frac{u^2+v^2}{uv}=\frac{25}{12} \Rightarrow \frac{5}{uv}=\frac{25}{12} \Rightarrow uv=\frac{12}{5}.$$

    Тогда

    $$ (u+v)^2=u^2+2uv+v^2=5+\frac{24}{5}=\frac{49}{5},$$

    $$ (u-v)^2=u^2-2uv+v^2=5-\frac{24}{5}=\frac{1}{5}.$$

    Отсюда получаем пары значений $$u$$ и $$v,$$ а значит и $$x$$, $$y$$.

Ответ

1) а) $$7>\sqrt{48}$$; б) $$2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$$.

2) а) $$63$$; б) $$6$$; в) $$5$$; г) $$1{,}5$$; д) $$17$$; е) $$27$$.

3) а) $$-2\sqrt{2}$$; б) $$7-2\sqrt{10}$$; в) $$1$$.

4) $$\sqrt{8a^3}=2a\sqrt{2a},\ a\ge 0.$$

5) а) $$x-\sqrt{3}$$; б) $$\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.$$

6) а) $$\frac{5\sqrt{7}}{7}$$; б) $$2-\sqrt{3}.$$

7) а) $$4{,}6<\sqrt{22}$$; б) $$2\sqrt{37}<5\sqrt{6}.$$

8) а) $$\sqrt{15}$$; б) $$-10$$; в) $$-2\sqrt{6}-3\sqrt{3}$$; г) $$-2.$$

9) $$\sqrt{x^3y}.$$

10) $$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}.$$

11) $$3+2\sqrt{2}.$$

12) $$5.$$

13) $$40xy.$$

14) а) $$\sqrt{2}$$; б) $$-11x.$$

15) а) $$\sqrt{x+2}+3$$; б) $$\sqrt{2}-1.$$

16) $$x\le \frac{8}{3}.$$

1) а) $$0$$; б) $$-1,\ 1$$; в) $$-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2}$$; г) $$0,\ \frac{5}{3}$$; д) $$\frac{1}{2}$$; е) $$-1,\ 17$$; ж) $$x=\frac{-25\pm \sqrt{685}}{3}$$; з) корней нет.

2) а) $$(x+3)(x-2)$$; б) $$(2x-3)(x+1).$$

3) $$9\text{ км/ч}$$ и $$12\text{ км/ч}.$$

4) $$(8{,}5;\ 0{,}5).$$

5) $$x=-15.$$

6) $$-11x.$$

7) $$12\text{ км/ч}$$ и $$16\text{ км/ч}.$$

8) а) $$(6;9),\ (-9;-6)$$; б) $$(-2;0),\ (-2;-1),\ (1;0),\ (1;-1).$$

9) $$a=1.$$

10) $$qx^2+p(q+1)x+(q+1)^2=0.$$

11) $$x=-1.$$

12) $$25.$$

13) решение системы сводится к значениям $$u=2x,\ v=3y$$, где $$uv=\frac{12}{5}$$ и $$u^2+v^2=5.$$