Практические и прикладные задачи Глава 6 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

С палубы корабля (11 м над уровнем моря) бросили под углом к горизонту спасательный круг со скоростью 6 м/с. Высота $$h$$ (м) нахождения круга над уровнем моря в зависимости от $$t$$ (с) времени полёта описывается формулой $$h=11+6t-5t^2$$. Через какое время круг окажется к воде ближе чем на 3 м?
Известно, что средний рост сосен $$h$$ (м) в сосняках Московской области находится по формуле $$h=\frac{t^2}{0{,}0242t^2+0{,}0737t+0{,}2129}$$, где $$t$$ — возраст сосен, выраженный в десятках лет. Определить возраст сосняка, если средняя высота деревьев в нём не превысила: 1) 13,8 м; 2) 21,1 м. Может ли в Московской области вырасти сосняк высотой не менее: 3) 40 м; 4) 41,5 м?

Подробный ответ

Круг окажется ближе чем на $$3$$ м к воде, если его высота над уровнем моря станет меньше $$3$$ м:
$$11+6t-5t^2<3$$
$$-5t^2+6t+8<0$$
Найдём корни уравнения:
$$-5t^2+6t+8=0$$
$$D=6^2-4\cdot(-5)\cdot 8=36+160=196,$$
$$\sqrt{D}=14.$$
$$t_1=\frac{-6-14}{-10}=2,\qquad t_2=\frac{-6+14}{-10}=-0{,}8.$$
С учётом того, что $$t>0$$, получаем:
$$t>2.$$
Значит, круг окажется к воде ближе чем на $$3$$ м через $$2$$ с.
Пусть
$$h=\frac{t^2}{0{,}0242t^2+0{,}0737t+0{,}2129},$$
где $$t$$ — возраст сосен в десятках лет.
1) Если $$h\le 13{,}8$$, то
$$\frac{t^2}{0{,}0242t^2+0{,}0737t+0{,}2129}\le 13{,}8.$$
После преобразований получаем:
$$0{,}72t^2-0{,}98t-2{,}8\le 0.$$
Умножим на $$100$$ и округлим коэффициенты:
$$72t^2-98t-280\le 0,$$
или
$$36t^2-49t-140\le 0.$$
Корни этого уравнения: $$t\approx -1{,}4$$ и $$t\approx 2{,}9$$.
Так как $$t>0$$, то
$$0<t\le 2{,}9.$$
Это соответствует возрасту сосняка не более $$29$$ лет.
2) Если $$h\le 21{,}1$$, то
$$\frac{t^2}{0{,}0242t^2+0{,}0737t+0{,}2129}\le 21{,}1.$$
После преобразований получаем:
$$0{,}58t^2-1{,}47t-4{,}41\le 0.$$
Округлим:
$$58t^2-147t-441\le 0,$$
или
$$2t^2-5t-15\le 0.$$
Корни: $$t\approx -1{,}9$$ и $$t\approx 4{,}7$$.
Следовательно,
$$0<t\le 4{,}7,$$
то есть возраст сосняка не более $$47$$ лет.
3) Проверим, может ли быть $$h\ge 40$$:
$$\frac{t^2}{0{,}0242t^2+0{,}0737t+0{,}2129}\ge 40.$$
После преобразований получаем:
$$0{,}032t^2-2{,}948t-8{,}516\ge 0.$$
Умножим на $$1000$$ и округлим:
$$32t^2-2948t-8516\ge 0.$$
Это неравенство выполняется при достаточно больших $$t$$, и первый положительный корень примерно равен $$101$$.
Значит, сосняк высотой не менее $$40$$ м может вырасти, если $$t\ge 101$$ лет.
4) Проверим, может ли быть $$h\ge 41{,}5$$:
$$\frac{t^2}{0{,}0242t^2+0{,}0737t+0{,}2129}\ge 41{,}5.$$
После преобразований получаем квадратное неравенство, у которого положительных решений нет.
Следовательно, сосняк высотой не менее $$41{,}5$$ м в Московской области вырасти не может.