Практические и прикладные задачи Глава 5 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
2. Для орошения земель строят каналы различных форм и размеров. Пусть проектируется канал, сечение которого имеет прямоугольную форму (рис.62), а смачивающийся периметр (AB+BC+CD) равен 20 м. Какими должны быть стороны сечения, чтобы пропускная способность канала была наибольшей?
3. Каким уравнением при проектировании должна быть задана мостовая арка, имеющая форму параболы (рис.63), если пролет арки Oa должен быть равен 48 м, а высота BC — 8 м?
4. Кольцо имеет радиус внешнего круга 3 см, а радиус внутреннего — x см. Записать формулу, выражающую зависимость площади кольца S от радиуса внутреннего круга. Построить график зависимости S от x, приняв ?=3, если 1?x?2.
5. Три бригады должны выполнить работу по изготовлению одинаковых деталей. Первая бригада в день делает 200 деталей. Вторая бригада делает в день на x деталей меньше, чем первая (0
Параболой называют множество всех точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки F равно расстоянию до фиксированной прямой l.
Пусть $$AB=CD=x$$ м, тогда $$BC=20-2x$$ м.
Площадь сечения:
$$S=x(20-2x)=20x-2x^2.$$
Это функция $$S=-2x^2+20x$$, её ветви направлены вниз, значит, наибольшее значение достигается в вершине:
$$x_0=\frac{-20}{2\cdot(-2)}=5.$$
Тогда
$$BC=20-2\cdot 5=10.$$
Следовательно, стороны сечения должны быть равны $$5$$ м, $$10$$ м и $$5$$ м.
Пусть уравнение арки имеет вид $$y=ax^2+bx+c.$$
Так как арка симметрична относительно середины пролёта, то вершина параболы имеет координаты $$\left(24;8\right)$$, а точки пересечения с землёй: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(48;0\right)$$.
Подставим точки в уравнение:
$$ \begin{cases} 0=0a+0b+c,\\ 8=24^2a+24b+c,\\ 0=48^2a+48b+c. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$c=0$$. Тогда
$$ \begin{cases} 576a+24b=8,\\ 2304a+48b=0. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$1152a+48b=16.$$
Вычтем его из второго:
$$1152a=-16,\qquad a=-\frac{1}{72}.$$
Тогда
$$576\cdot\left(-\frac{1}{72}\right)+24b=8,$$
$$-8+24b=8,\qquad 24b=16,\qquad b=\frac{2}{3}.$$
Итак, уравнение арки:
$$y=-\frac{1}{72}x^2+\frac{2}{3}x.$$
Площадь кольца:
$$S=\pi\cdot 3^2-\pi x^2=9\pi-\pi x^2.$$
При $$\pi=3$$ получаем:
$$S=27-3x^2.$$
Это парабола, ветви направлены вниз. Для построения можно взять несколько точек:
$$x$$ $$1$$ $$1{,}2$$ $$1{,}3$$ $$1{,}6$$ $$2$$ $$S$$ $$24$$ $$22{,}68$$ $$21{,}93$$ $$19{,}32$$ $$15$$ Первая бригада делает $$200$$ деталей в день, вторая — $$200-x$$, третья — $$200+5x$$.
Это задание выполняется по образцу из учебника.
Скорость первой трубы равна $$30$$ м3/ч, второй — $$30-2d$$ м3/ч, третьей — $$30+11d$$ м3/ч.
Пусть объём бассейна равен $$A$$ м3.
Тогда время работы первой и второй труб:
$$t_1=\frac{2A/11}{60-2d}.$$
Время работы всех трёх труб:
$$t_2=\frac{9A/11}{90+9d}.$$
Общее время:
$$ t=t_1+t_2=\frac{A}{11}\left(\frac{2}{60-2d}+\frac{9}{90+9d}\right) =\frac{A}{11}\cdot\frac{40}{300+20d-d^2}. $$
Чтобы время было наименьшим, знаменатель должен быть наибольшим:
$$300+20d-d^2.$$
Это парабола, ветви вниз, её вершина при
$$d_0=\frac{-20}{2\cdot(-1)}=10.$$
Скорости на участках равны: $$48$$ км/ч, $$48-a$$ км/ч и $$48+2a$$ км/ч.
Пусть путь от $$C$$ до $$B$$ равен $$S$$ км. Тогда время движения:
$$ t=\frac{S}{3(48-a)}+\frac{2S}{3(48+2a)} =\frac{S}{3}\left(\frac{1}{48-a}+\frac{2}{48+2a}\right). $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ t=\frac{S}{3}\cdot\frac{48+2a+2(48-a)}{(48-a)(48+2a)} =\frac{S}{3}\cdot\frac{144}{(48-a)(48+2a)}. $$
Так как
$$ (48-a)(48+2a)=2304+48a-2a^2, $$
то нужно максимизировать выражение
$$2304+48a-2a^2.$$
Это парабола, ветви вниз, вершина при
$$a_0=\frac{-48}{2\cdot(-2)}=12.$$
Ответ
1) Парабола — множество точек, равноудалённых от фокуса и директрисы.
2) $$5$$ м, $$10$$ м, $$5$$ м.
3) $$y=-\frac{1}{72}x^2+\frac{2}{3}x.$$
4) $$S=27-3x^2$$, график — ветвь параболы, направленная вниз.
5) По образцу из учебника.
6) $$d=10.$$
7) $$a=12$$ км/ч.
