Практические и прикладные задачи Глава 4 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Вычислить с точностью до 1 Н/мм^2 твердость металла, если:
1) F=1000 Н, D=10 мм, d=3 мм;
2) F=1000 Н, D=10 мм, d=4 мм.
2. Наибольшее расстояние S (км) от передающей антенны, на котором можно принять телепередачу, находится по формуле S=4,12(vH+vh), где H-высота (м), на которой находится передающая антенна, h-высота (м), на которой находится приемная антенна. Вычислить расстояние S с точностью до 0,1 км, если H=380 м, h=30 м.
3. Время t половинного слива наполненной водой горизонтально расположенной цилиндрической цистерны диаметром D и длиной l через круглое отверстие диаметром d в дне цистерны (рис.34) находится по формуле t=(4lDvD)/(3?md^2 vg), где g-ускорение свободного падения, m-коэффициент расхода отверстия. Найти с точностью до 1 с время половинного слива цистерны (приняв m=0,6, g=10 м/с^2), если:
1) D=1 м, d=0,05 м, l=1,5 м;
2) D=2 м, d=0,1 м, l=5 м.
4. На практике при малых значениях положительного числа a приближенные значения выражений v(1+a) и v(1-a) находят по формулам v(1+a)?1+a/2 и v(1-a)?1-a/2 соответственно. Используя эти формулы, найти: 1) v1,004; 2) v0,992 и сравнить полученное число со значением заданного выражения, найденным с точностью до 0,001 при помощи микрокалькулятора.
5. Период колебания маятника (рис.35) находится по формуле T=2?v(l/g), где l-длина маятника (длина нити от места подвеса до центра тяжести грузика, выраженная в метрах), g-ускорение свободного падения.
Выразить из данной формулы длину маятника и найти ее значение, если T=1,1 с; T=2,2 с. В расчетах принять: g=9,8 м/с^2, ?=3,14.
6. Объем V конуса находится по формуле V=1/3 ?R^2 H, где H-высота конуса, R-радиус основания (рис.36). Выразить из этой формулы радиус основания конуса.
7. Первую космическую скорость v (скорость вывода спутника на круговую орбиту) можно найти по формуле v=vRg, где R-радиус Земли, g-ускорение свободного падения. Высоту полета спутника считают много меньше R. С помощью микрокалькулятора найти первую космическую скорость, приняв R=6400 км, g=9,8 м/с^2.
8. Начальная масса тела m_0 при движении со скоростью v меняется и достигает величины m, которую можно найти по формуле m=m_0/v(1-v^2/c^2 ), где c-скорость света. На сколько процентов увеличится масса тела при движении со скоростью: 1) c/2; 2) 10^5 км/с? Принять скорость света c=3·10^5 км/с. 1. Водонапорный бак заполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин. Первая труба может его наполнить на 2 ч быстрее, чем вторая. За какое время каждая труба, работая отдельно, заполнит этот бак?
2. После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена товара снизилась с 3000 до 1920 р. На сколько процентов снижалась цена этого товара каждый раз?
3. Квадратный кусок резины растянули так, что он по длине увеличился на 4 см, а по ширине уменьшился на столько же. Получившийся кусок имеет площадь 560 см^2. Определить первоначальные размеры куска резины.
4. Груз, свободно падающий из вертолета, находясь на высоте 16 м от земли, имел скорость v_0=2 м/с. Найти время t, за которое груз пролетит оставшиеся 16 м. (Расстояние d, которое пролетает свободно падающее тело, находится по формуле s=v_0 t+gt^2/2, где v_0-начальная скорость, t-время падения, g-ускорение свободного падения.)
5. Футболист подбросил мяч вертикально вверх со скоростью v_0=12 м/с. Через какое время t мяч будет находиться на высоте 4 м? (Высота H, на которую поднимается вертикально брошенное тело, находится по формуле H=v_0 t-gt^2/2, где v_0-начальная скорость, t-время полета, g-ускорение свободного падения.)
6. Сосуд наполнен жидкостью A. Из него отлили 6 л, добавили 6 л жидкости B, перемешали и отлили 15 л смеси. Затем долили еще 15 л жидкости B и получили смесь, содержащую 40 % (по объему) жидкости A. Каков объем сосуда?
7. Даны точки A, B и C, расстояния между которыми указаны на рисунке 37. Найти: 1) отрезок AD — проекцию AC на AB; 2) расстояние h от точки C до прямой, проходящей через точки A и B.
Формула твердости:
$$T=\frac{2F}{\pi D\left(D-\sqrt{D^2-d^2}\right)}$$
1) При $$F=1000$$ Н, $$D=10$$ мм, $$d=3$$ мм:
$$ T=\frac{2\cdot 1000}{3{,}14\cdot 10\left(10-\sqrt{10^2-3^2}\right)} =\frac{2000}{31{,}4\left(10-\sqrt{91}\right)}\approx 138 $$
2) При $$F=1000$$ Н, $$D=10$$ мм, $$d=4$$ мм:
$$ T=\frac{2\cdot 1000}{3{,}14\cdot 10\left(10-\sqrt{10^2-4^2}\right)} =\frac{2000}{31{,}4\left(10-\sqrt{84}\right)}\approx 76 $$
$$S=4{,}12\left(\sqrt{H}+\sqrt{h}\right)$$
$$ S=4{,}12\left(\sqrt{380}+\sqrt{30}\right)\approx 102{,}9 $$
Формула времени половинного слива:
$$t=\frac{4lD\sqrt{D}}{3\pi m d^2\sqrt{g}}$$
При $$m=0{,}6$$, $$g=10$$ м/с$$^2$$:
1) $$D=1$$ м, $$d=0{,}05$$ м, $$l=1{,}5$$ м:
$$ t=\frac{4\cdot 1{,}5\cdot 1\cdot \sqrt{1}}{3\cdot 3{,}14\cdot 0{,}6\cdot 0{,}05^2\cdot \sqrt{10}} \approx 134 $$
2) $$D=2$$ м, $$d=0{,}1$$ м, $$l=5$$ м:
$$ t=\frac{4\cdot 5\cdot 2\cdot \sqrt{2}}{3\cdot 3{,}14\cdot 0{,}6\cdot 0{,}1^2\cdot \sqrt{10}} \approx 316 $$
Используем приближения:
$$\sqrt{1+a}\approx 1+\frac a2,\qquad \sqrt{1-a}\approx 1-\frac a2$$
1) $$\sqrt{1{,}004}=\sqrt{1+0{,}004}\approx 1+\frac{0{,}004}{2}=1{,}002$$
2) $$\sqrt{0{,}992}=\sqrt{1-0{,}008}\approx 1-\frac{0{,}008}{2}=0{,}996$$
Из формулы периода маятника
$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$
получаем:
$$ l=\frac{T^2g}{4\pi^2} $$
1) При $$T=1{,}1$$ с:
$$ l=\frac{1{,}1^2\cdot 9{,}8}{4\cdot 3{,}14^2}\approx 0{,}3\text{ м} $$
2) При $$T=2{,}2$$ с:
$$ l=\frac{2{,}2^2\cdot 9{,}8}{4\cdot 3{,}14^2}\approx 1{,}2\text{ м} $$
Из формулы объема конуса
$$V=\frac13\pi R^2H$$
находим радиус:
$$ R=\sqrt{\frac{3V}{\pi H}} $$
Первая космическая скорость:
$$v=\sqrt{Rg}$$
Переведем $$g$$ в км/с$$^2$$:
$$g=9{,}8\text{ м/с}^2=0{,}0098\text{ км/с}^2$$
Тогда
$$ v=\sqrt{6400\cdot 0{,}0098}\approx 7{,}9\text{ км/с} $$
Формула массы:
$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
1) При $$v=\frac c2$$:
$$ m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac14}}=\frac{m_0}{\sqrt{\frac34}}\approx 1{,}15m_0 $$
Масса увеличится примерно на $$15\%$$.
2) При $$v=10^5$$ км/с, $$c=3\cdot 10^5$$ км/с:
$$ m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{(10^5)^2}{(3\cdot 10^5)^2}}} =\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac19}} =\frac{m_0}{\sqrt{\frac89}} \approx 1{,}06m_0 $$
Масса увеличится примерно на $$6\%$$.
Пусть первая труба наполняет бак за $$x$$ ч, тогда вторая — за $$x+2$$ ч.
За $$2\text{ ч }55\text{ мин}=\frac{35}{12}$$ ч они вместе заполняют бак:
$$ \frac{35}{12}\left(\frac1x+\frac1{x+2}\right)=1 $$
$$ 35(x+2)+35x=12x(x+2) $$
$$ 6x^2-23x-35=0 $$
$$ D=23^2+4\cdot 6\cdot 35=1369,\qquad \sqrt D=37 $$
$$ x=\frac{23+37}{12}=5 $$
Значит, первая труба заполнит бак за $$5$$ ч, вторая — за $$7$$ ч.
Пусть цена снижалась каждый раз на $$x\%$$. Тогда после двух снижений:
$$ 3000\left(1-\frac{x}{100}\right)^2=1920 $$
$$ \left(1-\frac{x}{100}\right)^2=0{,}64 $$
$$ 1-\frac{x}{100}=0{,}8 $$
$$ x=20 $$
Пусть сторона квадрата равна $$x$$ см. Тогда после растяжения получим прямоугольник со сторонами $$x+4$$ и $$x-4$$:
$$ (x+4)(x-4)=560 $$
$$ x^2-16=560 $$
$$ x^2=576,\qquad x=24 $$
Используем формулу:
$$s=v_0t+\frac{gt^2}{2}$$
Для оставшихся $$16$$ м:
$$ 16=2t+\frac{10t^2}{2} $$
$$ 5t^2+2t-16=0 $$
$$ D=2^2+4\cdot 5\cdot 16=324,\qquad \sqrt D=18 $$
$$ t=\frac{-2+18}{10}=1{,}6 $$
Высота при вертикальном броске:
$$H=v_0t-\frac{gt^2}{2}$$
Для $$H=4$$ м:
$$ 4=12t-\frac{10t^2}{2} $$
$$ 5t^2-12t+4=0 $$
$$ D=12^2-4\cdot 5\cdot 4=64,\qquad \sqrt D=8 $$
$$ t_1=\frac{12-8}{10}=0{,}4,\qquad t_2=\frac{12+8}{10}=2 $$
Пусть объем сосуда равен $$x$$ л. Тогда после всех действий в сосуде осталось $$x$$ л смеси, содержащей $$40\%$$ жидкости $$A$$.
Составим уравнение по количеству жидкости $$A$$:
$$ \frac{(x-6)(x-15)}{x^2}=0{,}4 $$
$$ x^2-35x+150=0 $$
$$ D=35^2-4\cdot 150=625,\qquad \sqrt D=25 $$
$$ x=\frac{35+25}{2}=30 $$
Пусть $$BD=x$$ см, тогда $$AD=100-x$$ см.
Из прямоугольных треугольников:
$$ CD^2=AC^2-AD^2,\qquad CD^2=BC^2-BD^2 $$
Следовательно,
$$ AC^2-AD^2=BC^2-BD^2 $$
Подставим значения:
$$ 80^2-(100-x)^2=50^2-x^2 $$
$$ 6400-10000+200x-x^2=2500-x^2 $$
$$ 200x=6100,\qquad x=30{,}5 $$
Тогда
$$ AD=100-30{,}5=69{,}5\text{ см} $$
и
$$ h=\sqrt{50^2-30{,}5^2}\approx 39{,}6\text{ см} $$
Ответ
1) $$138\ \text{Н/мм}^2$$; $$76\ \text{Н/мм}^2$$. 2) $$102{,}9$$ км. 3) $$134$$ с; $$316$$ с. 4) $$1{,}002$$; $$0{,}996$$. 5) $$0{,}3$$ м; $$1{,}2$$ м. 6) $$R=\sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$$. 7) $$7{,}9$$ км/с. 8) на $$15\%$$; на $$6\%$$. 9) $$5$$ ч и $$7$$ ч. 10) $$20\%$$. 11) $$24$$ см. 12) $$1{,}6$$ с. 13) $$0{,}4$$ с и $$2$$ с. 14) $$30$$ л. 15) $$69{,}5$$ см; $$39{,}6$$ см.
