Практические и прикладные задачи Глава 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
2. Атом сверхтяжёлого водорода существует лишь 0,0000000001 с. Записать число 0,0000000001 в виде степени числа 10.
3. Размеры вируса гриппа составляют около 10^(-4) мм. Записать число 10^(-4) в виде десятичной дроби.
4. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 100 м со скоростью 20 м/с. Центростремительное ускорение a при движении по окружности находится по формуле a = v^2/R, где v — скорость движения, R — радиус окружности. Увеличится или уменьшится центростремительное ускорение автомобиля, если его скорость останется прежней, а радиус закругления дороги увеличится?
5. В сельском хозяйстве приблизительный объём зерна пшеницы, сгружённого в насыпь, имеющую форму конуса, находят по формуле V = p^3/20, где p — длина так называемой «перекидки», находящаяся с помощью шнура, перекинутого через кучу зерна (на рисунке 42 p = AB + BC). Найти объём ссыпанного в коническую кучу зерна, если p = 10 м; p = 20 м.
6. При массовом учёте делового леса используют следующую формулу для нахождения объёма одного бревна: V = ?l((R + r)/2)^2, где R и r — радиусы торцов бревна, l — длина бревна. Найти примерный объём древесины от 200 брёвен, имеющих одинаковые размеры: l ? 6 м, R ? 0,18 м, r ? 0,16 м.
7. Электромагнитные излучения, идущие от атмосферных явлений, молекул, атомов, ядер атомов, имеют разные длины. Например, радиоволны имеют длины от 1 мм до десятков метров; волны видимого спектра — от 3,8 · 10^(-7) м до 7,8 · 10^(-7) м; рентгеновские волны — от 5 · 10^(-12) м до 10^(-8) м.
1) Во сколько раз длина волны 5 · 10^(-7) м (дающая видимость синего цвета) больше длины волны 10^(-10) м рентгеновского излучения?
2) Во сколько раз длина волны 6 · 10^(-7) м (дающая видимость оранжевого цвета) меньше 100-метровой радиоволны? 1. В испытании металлов на твердость по методу вдавливания Бринелля в качестве наконечника давящего инструмента используется стальной шарик диаметром D, а результат оценивается при измерении силы вдавливания шарика F и диаметра d основания полученного отпечатка (рис.33). Формула твердости металла T, расчитанная по этому методу, имеет вид T=2F/(?D(D-v(D^2-d^2)).
Вычислить с точностью до 1 Н/мм^2 твердость металла, если:
1) F=1000 Н, D=10 мм, d=3 мм;
2) F=1000 Н, D=10 мм, d=4 мм.
2. Наибольшее расстояние S (км) от передающей антенны, на котором можно принять телепередачу, находится по формуле S=4,12(vH+vh), где H-высота (м), на которой находится передающая антенна, h-высота (м), на которой находится приемная антенна. Вычислить расстояние S с точностью до 0,1 км, если H=380 м, h=30 м.
3. Время t половинного слива наполненной водой горизонтально расположенной цилиндрической цистерны диаметром D и длиной l через круглое отверстие диаметром d в дне цистерны (рис.34) находится по формуле t=(4lDvD)/(3?md^2 vg), где g-ускорение свободного падения, m-коэффициент расхода отверстия. Найти с точностью до 1 с время половинного слива цистерны (приняв m=0,6, g=10 м/с^2), если:
1) D=1 м, d=0,05 м, l=1,5 м;
2) D=2 м, d=0,1 м, l=5 м.
4. На практике при малых значениях положительного числа a приближенные значения выражений v(1+a) и v(1-a) находят по формулам v(1+a)?1+a/2 и v(1-a)?1-a/2 соответственно. Используя эти формулы, найти: 1) v1,004; 2) v0,992 и сравнить полученное число со значением заданного выражения, найденным с точностью до 0,001 при помощи микрокалькулятора.
5. Период колебания маятника (рис.35) находится по формуле T=2?v(l/g), где l-длина маятника (длина нити от места подвеса до центра тяжести грузика, выраженная в метрах), g-ускорение свободного падения.
Выразить из данной формулы длину маятника и найти ее значение, если T=1,1 с; T=2,2 с. В расчетах принять: g=9,8 м/с^2, ?=3,14.
6. Объем V конуса находится по формуле V=1/3 ?R^2 H, где H-высота конуса, R-радиус основания (рис.36). Выразить из этой формулы радиус основания конуса.
7. Первую космическую скорость v (скорость вывода спутника на круговую орбиту) можно найти по формуле v=vRg, где R-радиус Земли, g-ускорение свободного падения. Высоту полета спутника считают много меньше R. С помощью микрокалькулятора найти первую космическую скорость, приняв R=6400 км, g=9,8 м/с^2.
8. Начальная масса тела m_0 при движении со скоростью v меняется и достигает величины m, которую можно найти по формуле m=m_0/v(1-v^2/c^2 ), где c-скорость света. На сколько процентов увеличится масса тела при движении со скоростью: 1) c/2; 2) 10^5 км/с? Принять скорость света c=3·10^5 км/с.
$$3 \cdot 10^{-3} = 3 \cdot \frac{1}{10^3} = \frac{3}{1000} = 0{,}003.$$
$$0{,}0000000001 = 10^{-10}.$$
$$10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0{,}0001.$$
$$a=\frac{v^2}{R}.$$
Если скорость $$v$$ не меняется, а радиус $$R$$ увеличивается, то знаменатель дроби становится больше, значит центростремительное ускорение уменьшается.
$$V=\frac{p^3}{20}.$$
При $$p=10$$ м:
$$V=\frac{10^3}{20}=\frac{1000}{20}=50 \text{ м}^3.$$
При $$p=20$$ м:
$$V=\frac{20^3}{20}=\frac{8000}{20}=400 \text{ м}^3.$$
$$V=\pi l\left(\frac{R+r}{2}\right)^2 \cdot 200.$$
При $$l \approx 6$$ м, $$R \approx 0{,}18$$ м, $$r \approx 0{,}16$$ м:
$$ V \approx 3{,}14 \cdot 6 \cdot \left(\frac{0{,}18+0{,}16}{2}\right)^2 \cdot 200 = 3{,}14 \cdot 6 \cdot 0{,}17^2 \cdot 200 \approx 108{,}9 \text{ м}^3. $$
1) $$\frac{5 \cdot 10^{-7}}{10^{-10}}=5 \cdot 10^3=5000.$$
2) $$\frac{100}{6 \cdot 10^{-7}} \approx 1{,}7 \cdot 10^8.$$
$$T=\frac{2F}{\pi D\left(D-\sqrt{D^2-d^2}\right)}.$$
1) При $$F=1000$$ Н, $$D=10$$ мм, $$d=3$$ мм:
$$ T=\frac{2 \cdot 1000}{3{,}14 \cdot 10 \left(10-\sqrt{10^2-3^2}\right)} \approx 138 \text{ Н/мм}^2. $$
2) При $$F=1000$$ Н, $$D=10$$ мм, $$d=4$$ мм:
$$ T=\frac{2 \cdot 1000}{3{,}14 \cdot 10 \left(10-\sqrt{10^2-4^2}\right)} \approx 76 \text{ Н/мм}^2. $$
$$S=4{,}12\left(\sqrt{H}+\sqrt{h}\right).$$
При $$H=380$$ м, $$h=30$$ м:
$$ S=4{,}12\left(\sqrt{380}+\sqrt{30}\right)\approx 102{,}9 \text{ км}. $$
$$t=\frac{4lD\sqrt{D}}{3\pi m d^2 \sqrt{g}}.$$
1) При $$D=1$$ м, $$d=0{,}05$$ м, $$l=1{,}5$$ м, $$m=0{,}6$$, $$g=10$$ м/с$$^2$$:
$$ t=\frac{4 \cdot 1{,}5 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}}{3 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}05^2 \cdot \sqrt{10}} \approx 134 \text{ с}. $$
2) При $$D=2$$ м, $$d=0{,}1$$ м, $$l=5$$ м:
$$ t=\frac{4 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{3 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}1^2 \cdot \sqrt{10}} \approx 316 \text{ с}. $$
Для малых $$a$$ используем приближения:
$$\sqrt{1+a}\approx 1+\frac{a}{2}, \qquad \sqrt{1-a}\approx 1-\frac{a}{2}.$$
1) $$\sqrt{1{,}004}=\sqrt{1+0{,}004}\approx 1+\frac{0{,}004}{2}=1{,}002.$$
2) $$\sqrt{0{,}992}=\sqrt{1-0{,}008}\approx 1-\frac{0{,}008}{2}=0{,}996.$$
Из формулы $$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$ получаем:
$$ \sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{T}{2\pi}, \qquad l=\frac{T^2 g}{4\pi^2}. $$
1) При $$T=1{,}1$$ с:
$$ l=\frac{1{,}1^2 \cdot 9{,}8}{4 \cdot 3{,}14^2}\approx 0{,}3 \text{ м}. $$
2) При $$T=2{,}2$$ с:
$$ l=\frac{2{,}2^2 \cdot 9{,}8}{4 \cdot 3{,}14^2}\approx 1{,}2 \text{ м}. $$
$$V=\frac{1}{3}\pi R^2H.$$
Выразим $$R$$:
$$ R^2=\frac{3V}{\pi H}, \qquad R=\sqrt{\frac{3V}{\pi H}}. $$
$$v=\sqrt{Rg}.$$
При $$R=6400$$ км и $$g=9{,}8$$ м/с$$^2=0{,}0098$$ км/с$$^2$$:
$$ v=\sqrt{6400 \cdot 0{,}0098}\approx 7{,}9 \text{ км/с}. $$
$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$
1) При $$v=\frac{c}{2}$$:
$$ m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{1}{4}}} =\frac{m_0}{\sqrt{0{,}75}} \approx 1{,}15m_0. $$
Значит, масса увеличится примерно на $$15\%$$.
2) При $$v=10^5$$ км/с, $$c=3 \cdot 10^5$$ км/с:
$$ m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{(10^5)^2}{(3\cdot 10^5)^2}}} =\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{1}{9}}} =\frac{m_0}{\sqrt{\frac{8}{9}}} \approx 1{,}06m_0. $$
Значит, масса увеличится примерно на $$6\%$$.
Ответ
1) $$0{,}003$$ мм; 2) $$10^{-10}$$ с; 3) $$0{,}0001$$ мм; 4) уменьшится; 5) $$50$$ м3 и $$400$$ м3; 6) $$108{,}9$$ м3; 7) 1) в $$5000$$ раз; 2) примерно в $$1{,}7 \cdot 10^8$$ раз.
1) $$138$$ Н/мм2; 2) $$76$$ Н/мм2; 2) $$102{,}9$$ км; 3) $$134$$ с и $$316$$ с; 4) $$1{,}002$$ и $$0{,}996$$; 5) $$0{,}3$$ м и $$1{,}2$$ м; 6) $$R=\sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$$; 7) $$7{,}9$$ км/с; 8) на $$15\%$$ и на $$6\%$$.
