Упр.96 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 1.
Найти наименьшее целое число, являющееся решением неравенства:
1) 4(y-1)<2+7y; 2) 4y-9>3(y-2);
3) 3(x-2)-2x<4x+1; 4) 6x+1?2(x-1)-3x.

Докажем тождество:

$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1. $$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{a(c+a)(a+b)+b(a+b)(b+c)+c(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ a(c+a)(a+b)=a(ac+ab+a^2+ab)=a^2c+a^2b+ab^2+abc, $$
$$ b(a+b)(b+c)=b(ab+ac+b^2+bc)=ab^2+abc+b^3+b^2c, $$
$$ c(b+c)(c+a)=c(bc+ac+c^2+ab)=bc^2+ac^2+c^3+abc. $$

Тогда числитель равен

$$ a^3+b^3+c^3+abc+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc. $$

Сгруппируем так:

$$ (a^3+b^3+c^3+abc)+(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc). $$

По условию $$a^3+b^3+c^3+abc=0$$, значит числитель становится

$$ a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc. $$

Но это и есть раскрытие произведения

$$ (a+b)(b+c)(c+a). $$

Следовательно,

$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} = \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1. $$

Теперь найдём наименьшее целое решение каждого неравенства.

1. $$4(y-1)<2+7y$$

   $$ 4y-4<2+7y $$
   $$ -3y<6 $$
   $$ y>-2. $$

   Наименьшее целое решение: $$y=-1$$.

2. $$4y-9>3(y-2)$$

   $$ 4y-9>3y-6 $$
   $$ y>3. $$

   Наименьшее целое решение: $$y=4$$.

3. $$3(x-2)-2x<4x+1$$

   $$ 3x-6-2x<4x+1 $$
   $$ x-6<4x+1 $$
   $$ -3x<7 $$
   $$ x>-\frac{7}{3}. $$

   Наименьшее целое решение: $$x=-2$$.

4. $$6x+1\ge 2(x-1)-3x$$

   $$ 6x+1\ge 2x-2-3x $$
   $$ 6x+1\ge -x-2 $$
   $$ 7x\ge -3 $$
   $$ x\ge -\frac{3}{7}. $$

   Наименьшее целое решение: $$x=0$$.

Ответ

$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1; $$
наименьшие целые решения: 1) $$-1$$, 2) $$4$$, 3) $$-2$$, 4) $$0$$.