Упр.917 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Доказать, что для любых чисел $$a$$, $$b$$, $$c$$ выполняется неравенство:
- $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$$;
- $$(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$$.
1) Докажем неравенство
$$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac.$$
Перенесём всё в левую часть и умножим на $$2$$:
$$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac \ge 0.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge 0.$$
Тогда
$$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \ge 0,$$
а это верно при любых $$a$$, $$b$$, $$c$$.
2) Докажем неравенство
$$(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2).$$
Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:
$$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \le 3a^2+3b^2+3c^2,$$
$$0 \le 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc.$$
Разделим на $$2$$:
$$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \ge 0.$$
Но это уже доказано в пункте 1. Значит,
$$(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2).$$
Ответ
Оба неравенства верны при любых $$a$$, $$b$$, $$c$$.
