Упр.917 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) a^2+b^2+c^2?ab+bc+ac;
2) (a+b+c)^2?3(a^2+b^2+c^2 ).

1) Докажем неравенство

$$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac.$$

Перенесём всё в левую часть и умножим на $2$:

$$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac \ge 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge 0.$$

Тогда

$$ (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \ge 0, $$

а это верно при любых $a$, $b$, $c$.

2) Докажем неравенство

$$ (a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2). $$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \le 3a^2+3b^2+3c^2,$$

$$0 \le 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc.$$

Разделим на $2$:

$$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \ge 0.$$

Но это уже доказано в пункте 1. Значит,

$$ (a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2). $$

Ответ

Оба неравенства верны при любых $a$, $b$, $c$.