Упр.916 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что для любых положительных чисел $$a$$ и $$b$$ справедливо неравенство:

1) $$a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{ab}+\frac{2}{\sqrt{ab}}$$;
2) $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1\geq \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$$.

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}-2\sqrt{ab}-\frac{2}{\sqrt{ab}}$$
$$=(a-2\sqrt{ab}+b)+\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{b}\right)$$
$$=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 \ge 0.$$

Значит,

$$a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{ab}+\frac{2}{\sqrt{ab}}.$$

2) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1-\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{ab}}$$
$$=\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\left(\frac{1}{b}-\frac{2}{\sqrt{b}}+1\right)+\left(1-\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)$$

Удобнее умножить неравенство на $$2$$:

$$\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+2-\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{2}{\sqrt{b}}-\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge 0.$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}-1\right)^2\ge 0.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1\ge \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{ab}}.$$

Ответ

$$a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{ab}+\frac{2}{\sqrt{ab}},$$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1\ge \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{ab}}.$$