Упр.915 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) a^2+b^2?2(a+b-1);
2) 2a^2+5b^2?2ab;
3) a^2+b^2?ab+a+b-1;
4) a^2+ab+b^2?0;
5) a^4+b^4?a^3 b+ab^3;
6) (a^2+b^2 )(a^4+b^4 )?(a^3+b^3 )^2.

Подробный ответ

$$a^2+b^2\ge 2(a+b-1)$$
Перенесём всё в левую часть:
$$a^2+b^2-2a-2b+2\ge 0$$
$$\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge 0$$
Это верно при любых $$a$$ и $$b$$.
$$2a^2+5b^2\ge 2ab$$
Перенесём всё в левую часть:
$$2a^2-2ab+5b^2\ge 0$$
$$\left(a-b\right)^2+a^2+4b^2\ge 0$$
Следовательно, неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.
$$a^2+b^2\ge ab+a+b-1$$
Перенесём всё в левую часть и умножим на $$2$$:
$$2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2\ge 0$$
$$\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge 0$$
$$\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge 0$$
Значит, неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.
$$a^2+ab+b^2\ge 0$$
Преобразуем:
$$a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2$$
Так как сумма квадратов неотрицательна, то неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.
$$a^4+b^4\ge a^3b+ab^3$$
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:
$$a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge 0$$
$$a^3(a-b)-b^3(a-b)\ge 0$$
$$\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge 0$$
$$\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge 0$$
Следовательно, неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.
$$\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge \left(a^3+b^3\right)^2$$
Раскроем скобки:
$$a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6$$
$$a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge 0$$
$$a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge 0$$
$$a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge 0$$
Значит, неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.