Упр.914 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (5-4x)/(3x^2-x-4)<4; 2) (19-33x)/(7x^2-11x+4)>3;
3) (x^4-x^2-12)/(x^3+1)>0;
4) (x^4-8x^2-9)/(x^3-1)<0; 5) |x^2-5x|?6; 6) |2x+3|>|4x-3|;
7) |x^2+4x+3|>|x+3|;
8) |x^2-x+1|?|x^2-3x+4|.

1. $$\frac{5-4x}{3x^2-x-4}<4$$

   $$\frac{5-4x-4(3x^2-x-4)}{3x^2-x-4}<0$$ $$\frac{21-12x^2}{3(x+1)\left(x-\frac43\right)}<0$$ $$\frac{3(7-4x^2)}{3(x+1)\left(x-\frac43\right)}<0$$ $$\frac{(\sqrt7-2x)(\sqrt7+2x)}{(x+1)\left(x-\frac43\right)}<0$$

   Отсюда
   $$x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt7}{2}\right)\cup(-1;\frac{\sqrt7}{2})\cup\left(\frac43;+\infty\right).$$

2. $$\frac{19-33x}{7x^2-11x+4}>3$$
   $$\frac{19-33x-3(7x^2-11x+4)}{7x^2-11x+4}>0$$
   $$\frac{7-21x^2}{7\left(x-\frac47\right)(x-1)}>0$$
   $$\frac{7(1-3x^2)}{7\left(x-\frac47\right)(x-1)}>0$$
   $$\frac{(1-\sqrt3\,x)(1+\sqrt3\,x)}{\left(x-\frac47\right)(x-1)}>0$$

   Тогда
   $$x\in\left(-\frac1{\sqrt3};\frac47\right)\cup\left(\frac1{\sqrt3};1\right).$$

3. $$\frac{x^4-x^2-12}{x^3+1}>0$$
   $$\frac{(x^2-4)(x^2+3)}{(x+1)(x^2-x+1)}>0$$
   $$\frac{(x-2)(x+2)(x^2+3)}{(x+1)(x^2-x+1)}>0$$

   Так как $$x^2+3>0$$ и $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x$$, получаем
   $$\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}>0.$$

   Ответ:
   $$x\in(-2;-1)\cup(2;+\infty).$$

4. $$\frac{x^4-8x^2-9}{x^3-1}<0$$ $$\frac{(x^2-9)(x^2+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}<0$$ $$\frac{(x-3)(x+3)}{x-1}<0.$$

   Тогда
   $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;3).$$

5. $$|x^2-5x|\ge 6$$

   Рассмотрим два случая:
   $$x^2-5x\ge 6 \quad \text{или} \quad x^2-5x\le -6.$$

   1) $$x^2-5x-6\ge 0$$
   $$ (x-6)(x+1)\ge 0 $$
   $$x\in(-\infty;-1]\cup[6;+\infty).$$

   2) $$x^2-5x+6\le 0$$
   $$ (x-2)(x-3)\le 0 $$
   $$x\in[2;3].$$

   Итак,
   $$x\in(-\infty;-1]\cup[2;3]\cup[6;+\infty).$$

6. $$|2x+3|>|4x-3|$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$ (2x+3)^2>(4x-3)^2 $$
   $$4x^2+12x+9>16x^2-24x+9$$
   $$36x>12x^2$$
   $$3x>x^2$$
   $$x(x-3)<0.$$

   Следовательно,
   $$x\in(0;3).$$

7. $$|x^2+4x+3|>|x+3|$$
   $$|(x+1)(x+3)|>|x+3|$$

   Если $$x=-3$$, то получаем $$0>0$$ — неверно. При $$x\ne -3$$ делим на $$|x+3|$$:
   $$|x+1|>1.$$

   Тогда
   $$x+1>1 \quad \text{или} \quad x+1<-1,$$ откуда $$x>0 \quad \text{или} \quad x<-2.$$

   С учётом исключения $$x=-3$$:
   $$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2)\cup(0;+\infty).$$

8. $$|x^2-x+1|\le |x^2-3x+4|$$

   Так как
   $$x^2-x+1>0,\qquad x^2-3x+4>0$$
   при всех $$x$$, то можно убрать модуль:
   $$x^2-x+1\le x^2-3x+4.$$

   $$-x+1\le -3x+4$$
   $$2x\le 3$$
   $$x\le \frac32.$$

   Следовательно,
   $$x\in\left(-\infty;\frac32\right).$$

Ответ

1) $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt7}{2}\right)\cup(-1;\frac{\sqrt7}{2})\cup\left(\frac43;+\infty\right)$$

2) $$\left(-\frac1{\sqrt3};\frac47\right)\cup\left(\frac1{\sqrt3};1\right)$$

3) $$(-2;-1)\cup(2;+\infty)$$

4) $$(-\infty;-3)\cup(1;3)$$

5) $$(-\infty;-1]\cup[2;3]\cup[6;+\infty)$$

6) $$(0;3)$$

7) $$(-\infty;-3)\cup(-3;-2)\cup(0;+\infty)$$

8) $$\left(-\infty;\frac32\right)$$