Упр.911 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Разложить многочлен $$x^5+x+1$$ на два множителя с целыми коэффициентами.

Сгруппируем слагаемые:

$$x^5+x+1=x^5+x^4-x^4+x^3-x^3+x^2-x^2+x+1$$

$$=(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)-(x^4+x^3+x^2)$$

$$=x^3(x^2+x+1)+(x^2+x+1)-x^2(x^2+x+1)$$

$$=(x^2+x+1)(x^3+1-x^2)$$

$$=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$$

Проверим умножением:

$$(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)=x^5+x+1$$

Ответ

$$x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$$