Упр.910 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x^3-6x^2-x+30;
2) (x^2+x+1)(x^2+x+2)-12;
3) x^4-x^3-7x^2+x+6;
4) (x^2+x+1)(x^2+x+2)-12;
5) (x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2.

1. $$x^3-6x^2-x+30=x^3+2x^2-8x^2+32-x-2$$
   $$=x^2(x+2)-8(x^2-4)-(x+2)$$
   $$=x^2(x+2)-8(x-2)(x+2)-(x+2)$$
   $$=(x+2)(x^2-8x+16-1)$$
   $$=(x+2)(x^2-8x+15)=(x+2)(x-5)(x-3).$$

2. Введём замену: $$x^2+x+1=t.$$ Тогда
   $$t(t+1)-12=t^2+t-12=(t+4)(t-3).$$
   Возвращаемся к переменной $$x$$:
   $$x^2+x+1=-4 \quad \text{или} \quad x^2+x+1=3.$$
   Первое уравнение даёт
   $$x^2+x+5=0,$$
   действительных корней нет. Второе:
   $$x^2+x-2=0,$$
   $$x_1=-2,\quad x_2=1.$$
   Значит,
   $$\bigl(x^2+x+1\bigr)\bigl(x^2+x+2\bigr)-12=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).$$

3. $$x^4-x^3-7x^2+x+6=x^4-x^3-7x^2+7x+1-1$$
   $$=x^3(x-1)-7(x^2-1)+(x-1)$$
   $$=(x-1)\bigl(x^3-7(x+1)+1\bigr)$$
   $$=(x-1)(x^3-7x-6)$$
   $$=(x-1)(x+1)(x^2-x-6)$$
   $$=(x-1)(x+1)(x-3)(x+2).$$

4. $$\bigl(x^2+4x+8\bigr)^2+3x\bigl(x^2+4x+8\bigr)+2x^2$$
   $$=\bigl(x^2+4x+8\bigr)^2+\bigl(3x\bigr)\bigl(x^2+4x+8\bigr)+2x^2.$$
   Введём замену: $$x^2+4x+8=t.$$ Тогда
   $$t^2+3xt+2x^2=0,$$
   $$t^2+3xt+2x^2=(t+2x)(t+x).$$
   Возвращаемся к $$x$$:
   $$\bigl(x^2+4x+8+2x\bigr)\bigl(x^2+4x+8+x\bigr)$$
   $$=(x^2+6x+8)(x^2+5x+8)$$
   $$=(x+2)(x+4)(x^2+5x+8).$$

Ответ

1) $$\,(x+2)(x-5)(x-3)\,;$$
2) $$\,(x^2+x+5)(x+2)(x-1)\,;$$
3) $$\,(x-1)(x+1)(x-3)(x+2)\,;$$
4) $$\,(x+2)(x+4)(x^2+5x+8).$$