Упр.909 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найти все значения a, при которых вершины двух парабол y=4x^2+8ax-a и y=4ax^2-8x+a-2 лежат по одну сторону от прямой y=-5.

Подробный ответ

Найдём вершины парабол.

Для $$y=4x^2+8ax-a$$ имеем:

$$x_0=-\frac{8a}{2\cdot 4}=-a,$$
$$y_0=4(-a)^2+8a(-a)-a=4a^2-8a^2-a=-4a^2-a.$$

Значит, вершина первой параболы: $$(-a;\,-4a^2-a).$$

Для $$y=4ax^2-8x+a-2$$ имеем:

$$x_0=\frac{8}{2\cdot 4a}=\frac{1}{a},$$
$$y_0=4a\left(\frac{1}{a}\right)^2-8\cdot \frac{1}{a}+a-2=\frac{4}{a}-\frac{8}{a}+a-2=a-2-\frac{4}{a}=\frac{a^2-2a-4}{a}.$$

Значит, вершина второй параболы: $$\left(\frac{1}{a};\,\frac{a^2-2a-4}{a}\right).$$

По условию вершины лежат по одну сторону от прямой $$y=-5$$, значит, их ординаты должны быть либо обе больше $$-5$$, либо обе меньше $$-5$$. Это равносильно условию

$$(-4a^2-a+5)\left(\frac{a^2-2a-4}{a}+5\right)>0.$$

Упростим:

$$(-4a^2-a+5)\cdot \frac{a^2+3a-4}{a}>0,$$
$$-(4a^2+a-5)\cdot \frac{(a+4)(a-1)}{a}>0.$$

Разложим первый множитель:

$$4a^2+a-5=(4a+5)(a-1).$$

Тогда

$$-\frac{(4a+5)(a-1)^2(a+4)}{a}>0.$$

Так как $$-(a-1)^2\le 0$$, то знак выражения определяется неравенством

$$\frac{(4a+5)(a+4)}{a}<0,$$

при этом $$a\ne 0$$.

Критические точки: $$a=-4,\; a=-\frac54,\; a=0.$$ По знакам получаем:

$$\frac{(4a+5)(a+4)}{a}<0 \quad \text{при} \quad a\in(-\infty,-4)\cup\left(-\frac54,0\right).$$