Упр.908 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найти все значения a, при которых вершины двух парабол y=x^2-2(a+1)x+1 и y=ax^2-x+a лежат по разные стороны от прямой y=3/4.

Найдём вершины парабол.

Для первой параболы $$y=x^2-2(a+1)x+1$$ имеем:

$$x_0=\frac{2(a+1)}{2}=a+1,$$
$$y_0=(a+1)^2-2(a+1)^2+1=-a^2-2a.$$

Значит, вершина первой параболы: $$\left(a+1;\,-a^2-2a\right).$$

Для второй параболы $$y=ax^2-x+a$$:

$$x_0=\frac{1}{2a},$$
$$y_0=a\left(\frac{1}{2a}\right)^2-\frac{1}{2a}+a=\frac{4a^2-1}{4a}.$$

Значит, вершина второй параболы: $$\left(\frac{1}{2a};\,\frac{4a^2-1}{4a}\right).$$

По условию вершины лежат по разные стороны от прямой $$y=\frac34,$$ значит, их ординаты должны удовлетворять неравенству

$$\left(-a^2-2a-\frac34\right)\left(\frac{4a^2-1}{4a}-\frac34\right)<0.$$

Упростим:

$$\left(\frac{-4a^2-8a-3}{4}\right)\left(\frac{4a^2-3a-1}{4a}\right)<0,$$ $$\frac{(4a^2+8a+3)(4a^2-3a-1)}{16a}>0.$$

Разложим на множители:

$$4a^2+8a+3=(2a+1)(2a+3),$$
$$4a^2-3a-1=(4a+1)(a-1).$$

Тогда

$$\frac{(2a+1)(2a+3)(4a+1)(a-1)}{a}>0,\qquad a\ne 0.$$

Критические точки: $$a=-\frac32,\,-\frac12,\,-\frac14,\,0,\,1.$$

По знакам получаем:

$$a\in\left(-\frac32,-\frac12\right)\cup\left(-\frac14,0\right)\cup(1,+\infty).$$

Ответ

$$a\in\left(-\frac32,-\frac12\right)\cup\left(-\frac14,0\right)\cup(1,+\infty).$$