Упр.907 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что при любых действительных значениях x и y справедливо неравенство x^2+5y^2-4xy+2x-6y+3>0.

Преобразуем левую часть неравенства, выделяя полные квадраты:

$$ x^2+5y^2-4xy+2x-6y+3 $$
$$ =(x^2-4xy+4y^2)+y^2+2x-6y+3 $$
$$ =(x-2y)^2+(y^2-2y+1)-4y+2x+2 $$
$$ =(x-2y)^2+(y-1)^2+2(x-2y)+2 $$
$$ =(x-2y+1)^2+(y-1)^2+1. $$

Так как $$ (x-2y+1)^2 \ge 0 $$ и $$ (y-1)^2 \ge 0 $$ при любых действительных $$x$$ и $$y$$, то

$$ (x-2y+1)^2+(y-1)^2+1>0. $$

Следовательно, неравенство верно при любых действительных значениях $$x$$ и $$y$$.

Ответ

$$ x^2+5y^2-4xy+2x-6y+3>0 $$
при любых действительных $$x$$ и $$y$$.