Упр.907 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что при любых действительных значениях $$x$$ и $$y$$ справедливо неравенство $$x^2+5y^2-4xy+2x-6y+3>0$$.

Преобразуем левую часть неравенства, выделяя полные квадраты:

$$x^2+5y^2-4xy+2x-6y+3$$
$$=(x^2-4xy+4y^2)+y^2+2x-6y+3$$
$$=(x-2y)^2+(y^2-2y+1)-4y+2x+2$$
$$=(x-2y)^2+(y-1)^2+2(x-2y)+2$$
$$=(x-2y+1)^2+(y-1)^2+1.$$

Так как $$(x-2y+1)^2 \ge 0$$ и $$(y-1)^2 \ge 0$$ при любых действительных $$x$$ и $$y$$, то

$$(x-2y+1)^2+(y-1)^2+1>0.$$

Следовательно, неравенство верно при любых действительных значениях $$x$$ и $$y$$.

Ответ

$$x^2+5y^2-4xy+2x-6y+3>0$$
при любых действительных $$x$$ и $$y$$.