Упр.906 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что выражение $$3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+10$$ принимает неотрицательные значения при любых значениях $$a$$ и $$b$$, не равных нулю.

Обозначим

$$t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}.$$

Тогда

$$t^2=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}+2+\frac{b^2}{a^2},$$

откуда

$$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=t^2-2.$$

Подставим это в данное выражение:

$$3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+10=3(t^2-2)-8t+10.$$

Получаем

$$3t^2-8t+4=3\left(t-2\right)\left(t-\frac{2}{3}\right).$$

Теперь рассмотрим возможные значения $$t$$.

Если $$ab>0,$$ то

$$t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2,$$

значит, оба множителя $$t-2$$ и $$t-\frac{2}{3}$$ неотрицательны, поэтому

$$3\left(t-2\right)\left(t-\frac{2}{3}\right)\ge 0.$$

Если $$ab<0,$$ то $$t<0,$$ следовательно, оба множителя $$t-2$$ и $$t-\frac{2}{3}$$ отрицательны, а их произведение снова неотрицательно:

$$3\left(t-2\right)\left(t-\frac{2}{3}\right)\ge 0.$$

Итак, при любых $$a\ne 0$$ и $$b\ne 0$$

$$3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+10\ge 0.$$

Ответ

$$3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+10\ge 0.$$