Упр.905 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ и пусть $$s_m=x_1^m+x_2^m$$, где $$m$$ — натуральное число, $$m\geq 2$$. Доказать, что $$as_m+bs_{m-1}+cs_{m-2}=0$$.

Подробный ответ

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$ax^2+bx+c=0$$, а $$s_m=x_1^m+x_2^m$$, где $$m\ge 2$$.

Тогда

$$s_m=(x_1+x_2)s_{m-1}-x_1x_2s_{m-2}.$$

Действительно,

$$\begin{aligned} (x_1+x_2)s_{m-1}-x_1x_2s_{m-2} &=(x_1+x_2)(x_1^{m-1}+x_2^{m-1})-x_1x_2(x_1^{m-2}+x_2^{m-2})\\ &=x_1^m+x_2^m+x_1x_2^{m-1}+x_2x_1^{m-1}-x_1^{m-1}x_2-x_1x_2^{m-1}\\ &=x_1^m+x_2^m=s_m. \end{aligned}$$

По теореме Виета

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$

Подставим это в выражение $$as_m+bs_{m-1}+cs_{m-2}$$:

$$\begin{aligned} as_m+bs_{m-1}+cs_{m-2} &=a\left(s_m+\frac{b}{a}s_{m-1}+\frac{c}{a}s_{m-2}\right)\\ &=a\left((x_1+x_2)s_{m-1}-x_1x_2s_{m-2}+\frac{b}{a}s_{m-1}+\frac{c}{a}s_{m-2}\right)\\ &=a\left(\left(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right)s_{m-1}+\left(-x_1x_2+\frac{c}{a}\right)s_{m-2}\right)\\ &=a(0\cdot s_{m-1}+0\cdot s_{m-2})=0. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$as_m+bs_{m-1}+cs_{m-2}=0.$$