Упр.903 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Известно, что корни квадратного уравнения x^2+px+q=0 по модулю больше единицы и имеют разные знаки. Доказать, что p+q+1<0,q-p+1<0

Подробный ответ

Пусть корни уравнения $$x^2+px+q=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. По условию $$|x_1|>1$$, $$|x_2|>1$$ и корни разных знаков.

Рассмотрим значения многочлена $$f(x)=x^2+px+q$$ в точках $$x=1$$ и $$x=-1$$:

$$f(1)=1+p+q,$$
$$f(-1)=1-p+q.$$

Так как корни имеют разные знаки и оба по модулю больше 1, то один корень лежит левее $$-1$$, а другой — правее $$1$$. Парабола $$y=x^2+px+q$$ ветвями направлена вверх, значит между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне промежутка между корнями — положительные.

Следовательно, точки $$x=-1$$ и $$x=1$$ лежат вне промежутка между корнями, но при этом находятся между корнями по разные стороны от нуля, поэтому значения функции в этих точках отрицательны:

$$f(1)=1+p+q<0,$$
$$f(-1)=1-p+q<0.$$

Итак, получаем:

$$p+q+1<0,$$
$$q-p+1<0.$$