Упр.902 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найти все значения r, при которых корни уравнения 2rx^2-(r+1)x+1=0 действительны и оба по модулю меньше единицы.

Рассмотрим уравнение

$$2rx^2-(r+1)x+1=0.$$

Чтобы его корни были действительными, нужно

$$D=(r+1)^2-8r=r^2-6r+1\ge 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$r^2-6r+1=0,$$

$$r=\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=3\pm2\sqrt2.$$

Значит,

$$r\in(-\infty,\,3-2\sqrt2]\cup[3+2\sqrt2,\,+\infty).$$

Теперь потребуем, чтобы оба корня уравнения по модулю были меньше 1. Для этого достаточно проверить значения многочлена на концах отрезка $$[-1;1]$$.

Обозначим

$$f(x)=2rx^2-(r+1)x+1.$$

Тогда

$$f(1)=2r-(r+1)+1=r,$$

$$f(-1)=2r+(r+1)+1=3r+2.$$

Если $$r>0,$$ то

$$f(1)>0,\qquad f(-1)>0.$$

Чтобы оба корня лежали внутри интервала $$(-1;1),$$ вершина параболы должна иметь абсциссу

$$x_0=\frac{r+1}{4r}$$

и при этом

$$-1<\frac{r+1}{4r}<1.$$

При $$r>0$$ это даёт

$$r>\frac13.$$

Совместно с условием действительности корней получаем

$$r\in[3+2\sqrt2,\,+\infty).$$

Если $$r<0,$$ то из условия

$$f(-1)>0$$

получаем

$$3r+2>0,$$

что невозможно при $$r<0$$ для корней, лежащих по модулю меньше 1. Поэтому остаётся только случай

$$r\le -\frac23.$$

С учётом условия действительности корней получаем

$$r\in(-\infty,\,-\frac23).$$

Объединяя результаты, имеем

$$r\in(-\infty,\,-\frac23)\cup[3+2\sqrt2,\,+\infty).$$

Ответ

$$r\in(-\infty,\,-\frac23)\cup[3+2\sqrt2,\,+\infty).$$