Упр.901 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что корни уравнения $$x^2+px+q=0$$ действительные и отрицательные только тогда, когда $$p^2-4q\geq0,\quad p>0,\quad q>0$$.

Для уравнения $$x^2+px+q=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

Чтобы корни были действительными, нужно и достаточно, чтобы

$$D=p^2-4q\ge 0.$$

Чтобы оба корня были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы их сумма была отрицательной, а произведение положительным:

$$x_1+x_2<0,\qquad x_1x_2>0.$$

Подставим формулы Виета:

$$-p<0,\qquad q>0,$$

то есть

$$p>0,\qquad q>0.$$

Следовательно, корни уравнения $$x^2+px+q=0$$ действительные и отрицательные тогда и только тогда, когда

$$p^2-4q\ge 0,\qquad p>0,\qquad q>0.$$

Ответ

$$p^2-4q\ge 0,\quad p>0,\quad q>0.$$