Упр.900 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Найти все значения $$r$$, при которых корни квадратного уравнения $$(r-4)x^2-2(r-3)x+r=0$$ положительны.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$(r-4)x^2-2(r-3)x+r=0.$$

Нужно найти такие значения $$r$$, при которых оба корня положительны.

1) Случай $$r=4$$.

Тогда уравнение становится линейным:

$$-2(4-3)x+4=0,$$

$$-2x+4=0,$$

$$x=2.$$

Корень положительный, значит $$r=4$$ подходит.

2) Случай $$r\ne 4$$. Тогда уравнение квадратное. Для того чтобы оба корня были положительными, нужно, чтобы выполнялись условия:

$$D\ge 0,\qquad x_1+x_2>0,\qquad x_1x_2>0.$$

По формулам Виета:

$$x_1+x_2=\frac{2(r-3)}{r-4},\qquad x_1x_2=\frac{r}{r-4}.$$

Найдём дискриминант:

$$D=[-2(r-3)]^2-4(r-4)r =4(r-3)^2-4r(r-4) =36-8r.$$

Отсюда

$$36-8r\ge 0,\qquad r\le \frac{9}{2}.$$

Теперь решим систему неравенств:

$$\frac{r}{r-4}>0,\qquad \frac{r-3}{r-4}>0,\qquad r\le \frac{9}{2}.$$

Из первых двух неравенств получаем:

$$r\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty).$$

С учётом условия $$r\le \frac{9}{2}$$ и исключения точки $$r=4$$ получаем:

$$r\in(-\infty,0)\cup\left(4,\frac{9}{2}\right].$$

Но при $$r<0$$ произведение корней положительно, однако сумма корней отрицательна, поэтому оба корня не могут быть положительными. Значит, остаётся только

$$r\in\left(4,\frac{9}{2}\right].$$

С учётом случая $$r=4$$ получаем окончательно:

$$r\in\left[4,\frac{9}{2}\right].$$