Упр.899 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Пусть a, b, c — различные числа, причём c ≠ 0. Доказать, что если уравнения $$x^2+ax+bc=0$$ и $$x^2+bx+ca=0$$ имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0$$.

Пусть уравнения

$$x^2+ax+bc=0$$

и

$$x^2+bx+ca=0$$

имеют общий корень $$x=c$$.

Тогда, вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$$x^2+ax+bc-\left(x^2+bx+ca\right)=0$$

$$ax-bx+bc-ca=0$$

$$x(a-b)-c(a-b)=0$$

$$\left(a-b\right)(x-c)=0.$$

Так как $$a\ne b$$, то $$x=c.$$

Подставим $$x=c$$ в первое уравнение:

$$c^2+ac+bc=0$$

$$c(c+a+b)=0.$$

Так как $$c\ne 0$$, то

$$a+b+c=0.$$

По теореме Виета для первого уравнения второй корень равен

$$x_2=bc:c=b,$$

а для второго уравнения второй корень равен

$$x_3=ca:c=a.$$

Осталось проверить, что числа $$a$$ и $$b$$ являются корнями уравнения

$$x^2+cx+ab=0.$$

При $$x=b$$ имеем:

$$b^2+cb+ab=b(a+b+c)=0.$$

При $$x=a$$ имеем:

$$a^2+ca+ab=a(a+b+c)=0.$$

Значит, $$a$$ и $$b$$ действительно являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0.$$

Ответ

Другие корни данных уравнений равны $$a$$ и $$b$$; они являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0.$$