Упр.899 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Пусть a, b, c — различные числа, причем c?0. Доказать, что если уравнения x^2+ax+bc=0 и x^2+bx+ca=0 имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений являются корнями уравнения x^2+cx+ab=0.

Пусть уравнения

$$x^2+ax+bc=0$$

и

$$x^2+bx+ca=0$$

имеют общий корень $x=c$.

Тогда, вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$$x^2+ax+bc-\left(x^2+bx+ca\right)=0$$

$$ax-bx+bc-ca=0$$

$$x(a-b)-c(a-b)=0$$

$$\left(a-b\right)(x-c)=0.$$

Так как $a\ne b$, то $$x=c.$$

Подставим $x=c$ в первое уравнение:

$$c^2+ac+bc=0$$

$$c(c+a+b)=0.$$

Так как $c\ne 0$, то

$$a+b+c=0.$$

По теореме Виета для первого уравнения второй корень равен

$$x_2=bc:c=b,$$

а для второго уравнения второй корень равен

$$x_3=ca:c=a.$$

Осталось проверить, что числа $a$ и $b$ являются корнями уравнения

$$x^2+cx+ab=0.$$

При $x=b$ имеем:

$$b^2+cb+ab=b(a+b+c)=0.$$

При $x=a$ имеем:

$$a^2+ca+ab=a(a+b+c)=0.$$

Значит, $a$ и $b$ действительно являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0.$$

Ответ

Другие корни данных уравнений равны $a$ и $b$; они являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0.$$