Упр.898 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых уравнения $$x^2+ax+1=0$$ и $$x^2+x+a=0$$ имеют хотя бы один общий действительный корень.

Пусть уравнения

$$x^2+ax+1=0$$

и

$$x^2+x+a=0$$

имеют общий действительный корень $$x$$. Тогда этот корень удовлетворяет обоим уравнениям, значит, можно приравнять их левые части:

$$x^2+ax+1=x^2+x+a$$

$$ax-x+1-a=0$$

$$x(a-1)-(a-1)=0$$

$$(a-1)(x-1)=0$$

Отсюда возможны два случая.

1) $$a=1$$.

Тогда оба уравнения принимают вид

$$x^2+x+1=0$$

Но это уравнение не имеет действительных корней, так как

$$D=1-4=-3<0.$$

Этот случай не подходит.

2) $$x=1$$.

Подставим $$x=1$$ в первое уравнение:

$$1^2+a\cdot 1+1=0$$

$$a+2=0$$

$$a=-2.$$

Проверка во втором уравнении:

$$1^2+1+a=0 \Rightarrow 2+a=0 \Rightarrow a=-2.$$

Значит, при $$a=-2$$ уравнения имеют общий действительный корень $$x=1$$.

Ответ

$$a=-2$$