Упр.896 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения $$r$$, для которых при всех действительных значениях $$x$$ выполняется неравенство $$\left(r^2-1\right)x^2+2(r-1)x+1>0$$.

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $$x$$:

$$(r^2-1)x^2+2(r-1)x+1>0.$$

Чтобы неравенство выполнялось при всех действительных значениях $$x$$, нужно, чтобы:

• коэффициент при $$x^2$$ был положительным;
• дискриминант был отрицательным.

Найдём дискриминант:

$$D=[2(r-1)]^2-4(r^2-1)\cdot 1$$

$$D=4(r-1)^2-4(r^2-1)$$

$$D=4(r^2-2r+1)-4r^2+4=8-8r.$$

Тогда

$$D<0 \;\Rightarrow\; 8-8r<0 \;\Rightarrow\; r>1.$$

Теперь проверим коэффициент при $$x^2$$:

$$r^2-1>0 \;\Rightarrow\; (r-1)(r+1)>0.$$

При $$r>1$$ это условие выполняется.

Проверим граничный случай $$r=1$$:

$$(r^2-1)x^2+2(r-1)x+1=1,$$

а значит, неравенство $$1>0$$ верно при всех $$x$$.

При $$r<1$$ условие не выполняется.

Ответ

$$r\ge 1$$