Упр.896 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найте все значения r, для которых при всех действительных значениях x выполняется неравенство (r^2-1) x^2+2(r-1)x+1>0.

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $$x$$:

$$ (r^2-1)x^2+2(r-1)x+1>0. $$

Чтобы неравенство выполнялось при всех действительных значениях $$x$$, нужно, чтобы:

• коэффициент при $$x^2$$ был положительным;
• дискриминант был отрицательным.

Найдём дискриминант:

$$ D=[2(r-1)]^2-4(r^2-1)\cdot 1 $$

$$ D=4(r-1)^2-4(r^2-1) $$

$$ D=4(r^2-2r+1)-4r^2+4=8-8r. $$

Тогда

$$ D<0 \;\Rightarrow\; 8-8r<0 \;\Rightarrow\; r>1. $$

Теперь проверим коэффициент при $$x^2$$:

$$ r^2-1>0 \;\Rightarrow\; (r-1)(r+1)>0. $$

При $$r>1$$ это условие выполняется.

Проверим граничный случай $$r=1$$:

$$ (r^2-1)x^2+2(r-1)x+1=1, $$

а значит, неравенство $$1>0$$ верно при всех $$x$$.

При $$r<1$$ условие не выполняется.

Ответ

$$r\ge 1$$