Упр.895 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если r<0, то квадратное уравнение x^2-2(r-1)x+2r+1=0 имеет действительные корни. При каких значениях r (r<0) оба корня этого уравнения отрицательны?

Рассмотрим квадратное уравнение

$$x^2-2(r-1)x+2r+1=0,\quad r<0.$$

Найдём дискриминант:

$$ D=[-2(r-1)]^2-4\cdot 1\cdot(2r+1) =4(r-1)^2-8r-4 =4(r^2-2r+1)-8r-4 =4r^2-16r =4r(r-4). $$

Так как $$r<0$$, то оба множителя $$r$$ и $$r-4$$ отрицательны, значит

$$D=4r(r-4)>0.$$

Следовательно, при всех $$r<0$$ уравнение имеет два действительных корня.

Теперь найдём, при каких значениях $$r<0$$ оба корня отрицательны. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=2(r-1),\qquad x_1x_2=2r+1.$$

Чтобы оба корня были отрицательны, нужно и достаточно, чтобы

$$x_1+x_2<0,\qquad x_1x_2>0.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 2(r-1)<0,\\ 2r+1>0. \end{cases} $$

Отсюда

$$ \begin{cases} r<1,\\ r>-\dfrac12. \end{cases} $$

С учётом условия $$r<0$$ имеем

$$-\dfrac12<r<0.$$

Ответ

При всех $$r<0$$ уравнение имеет действительные корни; оба корня отрицательны при $$-\dfrac12<r<0$$.