Упр.894 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Каким условиям удовлетворяют числа a и b, если биквадратное уравнение x^4-(a+b) x^2+ab=0 имеет четыре различных действительных корня?

Подробный ответ

Сделаем замену:

$$x^2=y.$$

Тогда уравнение примет вид

$$y^2-(a+b)y+ab=0.$$

Чтобы исходное биквадратное уравнение имело четыре различных действительных корня, квадратное уравнение относительно $$y$$ должно иметь два различных положительных корня.

Для этого нужно:

$$D=(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>0,$$

то есть $$a\ne b.$$

Кроме того, по теореме Виета для корней $$y_1$$ и $$y_2$$:

$$y_1+y_2=a+b>0,$$

$$y_1y_2=ab>0.$$

Из $$ab>0$$ и $$a+b>0$$ следует, что числа $$a$$ и $$b$$ одного знака, а так как их сумма положительна, то оба числа положительны:

$$a>0,\quad b>0.$$

При этом обязательно $$a\ne b$$, чтобы корни были различными.