Упр.893 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если квадратное уравнение x^2+px+q=0, где p и q — целые числа, имеет рациональные корни, то эти корни — целые числа.

Пусть рациональный корень уравнения $$x^2+px+q=0$$ имеет вид $$x=\frac{a}{b}$$, где $$a$$ — целое число, $$b$$ — натуральное число, а дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима.

Подставим это значение в уравнение:

$$\frac{a^2}{b^2}+p\frac{a}{b}+q=0.$$

Умножим обе части на $$b^2$$:

$$a^2+pab+qb^2=0.$$

Тогда

$$a^2=-pab-qb^2.$$

Правая часть делится на $$b$$, значит и $$a^2$$ делится на $$b$$. Но тогда и $$a$$ делится на $$b$$, что возможно только при $$b=1$$, так как дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима.

Следовательно, $$x=\frac{a}{b}=a$$ — целое число.

Ответ

Если квадратное уравнение $$x^2+px+q=0$$ с целыми $$p$$ и $$q$$ имеет рациональные корни, то эти корни являются целыми числами.