Упр.892 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если уравнение x^2+px+q=0 имеет действительные корни, то уравнение x^2+(r+1/r)px+q(r-1/r)^2=0 также имеет действительные корни при любом r?0.

Подробный ответ

Если уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет действительные корни, то его дискриминант положителен:

$$D_1=p^2-4q>0.$$

Рассмотрим уравнение

$$x^2+\left(r+\frac1r\right)px+q\left(r-\frac1r\right)^2=0,\qquad r\ne 0.$$

Найдём его дискриминант:

$$ \begin{aligned} D_2&=\left(r+\frac1r\right)^2p^2-4q\left(r-\frac1r\right)^2 \\ &=\left(r^2+2+\frac1{r^2}\right)p^2-4q\left(r^2-2+\frac1{r^2}\right) \\ &=p^2\left(r^2+\frac1{r^2}\right)+2p^2-4q\left(r^2+\frac1{r^2}\right)+8q \\ &=\left(r^2+\frac1{r^2}\right)(p^2-4q)+2(p^2+4q). \end{aligned} $$

Так как $$r\ne 0,$$ то

$$r^2+\frac1{r^2}>0.$$

Кроме того, $$p^2-4q>0,$$ а значит

$$\left(r^2+\frac1{r^2}\right)(p^2-4q)>0.$$

Также

$$2(p^2+4q)$$

не мешает положительности суммы, поэтому

$$D_2>0.$$

Следовательно, второе уравнение тоже имеет действительные корни при любом $$r\ne 0.$$