Упр.891 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$\left(a+b\right)^2>c^2$$ и $$\left(a-b\right)^2

Рассмотрим квадратное уравнение

$$a^2x^2+(b^2+a^2-c^2)x+b^2=0.$$

Чтобы доказать, что оно не имеет действительных корней, достаточно показать, что его дискриминант отрицателен.

Вычислим дискриминант:

$$D=(b^2+a^2-c^2)^2-4a^2b^2.$$

Разложим на множители:

$$D=(b^2+a^2-c^2-2ab)(b^2+a^2-c^2+2ab).$$

Тогда

$$D=\bigl((a-b)^2-c^2\bigr)\bigl((a+b)^2-c^2\bigr).$$

По условию

$$(a+b)^2>c^2,\qquad (a-b)^2<c^2.$$

Значит,

$$(a+b)^2-c^2>0,\qquad (a-b)^2-c^2<0.$$

Следовательно, произведение этих множителей отрицательно:

$$D<0.$$

А значит, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ

Уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен: $$D<0$$.