Упр.891 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если (a+b)^2>c^2 и (a-b)^2

Рассмотрим квадратное уравнение

$$a^2x^2+(b^2+a^2-c^2)x+b^2=0.$$

Чтобы доказать, что оно не имеет действительных корней, достаточно показать, что его дискриминант отрицателен.

Вычислим дискриминант:

$$ D=(b^2+a^2-c^2)^2-4a^2b^2. $$

Разложим на множители:

$$ D=(b^2+a^2-c^2-2ab)(b^2+a^2-c^2+2ab). $$

Тогда

$$ D=\bigl((a-b)^2-c^2\bigr)\bigl((a+b)^2-c^2\bigr). $$

По условию

$$ (a+b)^2>c^2,\qquad (a-b)^2<c^2. $$

Значит,

$$ (a+b)^2-c^2>0,\qquad (a-b)^2-c^2<0. $$

Следовательно, произведение этих множителей отрицательно:

$$ D<0. $$

А значит, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ

Уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен: $$D<0$$.