Упр.890 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если x_1 и x_2 — корни квадратного уравнения x^2-rx-r=0, где r>0, то выполняется неравенство x_1^3+x_2^3+(x_1 x_2 )^3>0

Для квадратного уравнения $$x^2-rx-r=0,\quad r>0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=r,\qquad x_1x_2=-r.$$

Рассмотрим выражение:

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2).$$

Тогда

$$ x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3 =(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)+(x_1x_2)^3. $$

Выразим через сумму и произведение корней:

$$ x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2. $$

Подставим:

$$ x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3 =(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr)+(x_1x_2)^3. $$

Теперь используем $$x_1+x_2=r$$ и $$x_1x_2=-r$$:

$$ x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3 =r\bigl(r^2-3(-r)\bigr)+(-r)^3 =r(r^2+3r)-r^3. $$

Получаем:

$$ r^3+3r^2-r^3=3r^2. $$

Так как $$r>0$$, то $$3r^2>0$$.

Ответ

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3=3r^2>0.$$