Упр.890 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного уравнения $$x^2-rx-r=0$$, где $$r>0$$, то выполняется неравенство $$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3>0$$.

Для квадратного уравнения $$x^2-rx-r=0,\quad r>0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=r,\qquad x_1x_2=-r.$$

Рассмотрим выражение:

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2).$$

Тогда

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3 =(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)+(x_1x_2)^3.$$

Выразим через сумму и произведение корней:

$$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2.$$

Подставим:

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3 =(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr)+(x_1x_2)^3.$$

Теперь используем $$x_1+x_2=r$$ и $$x_1x_2=-r$$:

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3 =r\bigl(r^2-3(-r)\bigr)+(-r)^3 =r(r^2+3r)-r^3.$$

Получаем:

$$r^3+3r^2-r^3=3r^2.$$

Так как $$r>0$$, то $$3r^2>0$$.

Ответ

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3=3r^2>0.$$