Упр.888 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) {(xy(x+y)=6
x^3+y^3=9)+
2) {((x-y)(x^2-y^2 )=7
(x+y)(x^2+y^2 )=175)+
3) {(x^3+4y=y^3+16x
1+y^2=5(1+x^2 ) )+
4) {(x^3+y^3+x^2 y+xy^2=5
x^4 y^2+x^2 y^4=20)+
5) {(2(x+y)=5xy
8(x^3+y^3 )=65)+
6) {(x^3-y^3=19(x-y)
x^3+y^3=7(x+y) )+
7) {((x+y)(x^2-y^2 )=9
(x-y)(x^2+y^2 )=5)+
8) {(xy+24=x^3/y
xy-6=y^3/x)+.
$$\begin{cases} xy(x+y)=6 \\ x^3+y^3=9 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$3x^2y+3xy^2=18.$$
Складываем с вторым уравнением:
$$ x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=27, $$
значит
$$ (x+y)^3=27,\quad x+y=3. $$
Тогда $$x=3-y$$, и из первого уравнения:
$$ y(3-y)\cdot 3=6, $$
$$ y(3-y)=2, $$
$$ y^2-3y+2=0. $$
Отсюда $$y=1$$ или $$y=2$$. Тогда $$x=2$$ или $$x=1$$.$$\text{Ответ: }(2;1),\ (1;2).$$
$$\begin{cases} (x-y)(x^2-y^2)=7 \\ (x+y)(x^2+y^2)=175 \end{cases}$$
Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$, получаем:
$$ \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2}=\frac{7}{175}=\frac{1}{25}. $$
Обозначим $$a=x-y,\ b=x+y$$. Тогда
$$ a^2(x^2+y^2)=7,\qquad b(x^2+y^2)=175. $$
Из решения системы получаем два случая:
$$ x=\frac{3}{4}y \quad \text{или} \quad x=\frac{4}{3}y. $$
Подставляя в первое уравнение, находим:
$$ (x,y)=(3,4)\quad \text{или}\quad (4,3). $$$$\text{Ответ: }(3;4),\ (4;3).$$
$$\begin{cases} x^3+4y=y^3+16x \\ 1+y^2=5(1+x^2) \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$ y^2=5x^2+4. $$
Первое уравнение преобразуем:
$$ x^3-y^3+4y-16x=0, $$
$$ (x-y)(x^2+xy+y^2)-4(4x-y)=0. $$
Удобнее записать так:
$$ x^3-5x^2y-16x=0, $$
$$ x(x^2-5xy-16)=0. $$
Рассмотрим случаи.1) $$x=0$$. Тогда $$y^2=4$$, значит $$y=2$$ или $$y=-2$$.
2) $$x^2-5xy-16=0$$ и $$y^2=5x^2+4$$. После подстановки получаем
$$ 21x^2-5xy-4y^2=0. $$
Решая как квадратное уравнение относительно $$x$$, имеем
$$ x=-\frac13 y \quad \text{или} \quad x=\frac47 y. $$
Тогда:
$$ x=-\frac13 y \Rightarrow y^2=5\cdot\frac{y^2}{9}+4 \Rightarrow y^2=9, $$
откуда $$y=3$$, $$x=-1$$;
$$ x=\frac47 y \Rightarrow y^2=5\cdot\frac{16}{49}y^2+4, $$
что даёт противоречие, корней нет.$$\text{Ответ: }(0;2),\ (0;-2),\ (1;-3),\ (-1;3).$$
$$\begin{cases} x^3+4y=y^3+16x \\ 1+y^2=5(1+x^2) \end{cases}$$
Обозначим
$$ m=x+y,\qquad n=xy. $$
Тогда
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=m(m^2-3n), $$
а также
$$ x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)=n(m^2-2n). $$
Из системы получаем:
$$ \begin{cases} m(m^2-2n)=5 \\ n^2(m^2-2n)=20 \end{cases} $$
Делим первое уравнение на второе:
$$ \frac{m}{n^2}=\frac{5}{20}=\frac14, $$
значит
$$ m=\frac{n^2}{4}. $$
Подставим:
$$ n^2\left(\frac{n^4}{16}-2n\right)=20, $$
$$ n^6-32n^3-320=0. $$
Сделаем замену $$t=n^3$$:
$$ t^2-32t-320=0, $$
$$ t=-8 \quad \text{или} \quad t=40. $$
Тогда:
$$ n=-2,\ m=1 $$
или
$$ n=\sqrt[3]{40},\ m=\sqrt[3]{25}. $$
Во втором случае действительных корней нет. В первом случае:
$$ \begin{cases} x+y=1 \\ xy=-2 \end{cases} $$
$$ x^2-x-2=0, $$
$$ x=2 \quad \text{или} \quad x=-1. $$
Соответственно, $$y=-1$$ или $$y=2$$.$$\text{Ответ: }(2;-1),\ (-1;2).$$
$$\begin{cases} 2(x+y)=5xy \\ 8(x^3+y^3)=65 \end{cases}$$
Обозначим
$$ m=x+y,\qquad n=xy. $$
Тогда
$$ 2m=5n, $$
а также
$$ 8(m^3-3mn)=65. $$
Из первого уравнения $$m=\frac52 n$$. Подставим во второе:
$$ 8\left(\left(\frac52 n\right)^3-3\cdot \frac52 n\cdot n\right)=65, $$
откуда
$$ n=1,\qquad m=\frac52. $$
Значит,
$$ \begin{cases} x+y=\frac52 \\ xy=1 \end{cases} $$
$$ x^2-\frac52 x+1=0. $$
$$ 2x^2-5x+2=0, $$
$$ x=2 \quad \text{или} \quad x=\frac12. $$
Тогда $$y=\frac12$$ или $$y=2$$.$$\text{Ответ: }(2;0{,}5),\ (0{,}5;2).$$
