Упр.887 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases} x^2+xy=10 \\ y^2+xy=15 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$x^2+2xy+y^2=25,$$
   $$\left(x+y\right)^2=25,$$
   $$x+y=5 \text{ или } x+y=-5.$$
   Подставляя в систему, получаем:
   $$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=-2 \\ y=-3 \end{cases}$$

2. $$\begin{cases} (x-1)(y-1)=6 \\ (x+2)(y+2)=30 \end{cases}$$
   Раскроем скобки:
   $$\begin{cases} xy-x-y=5 \\ xy+2x+2y=26 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$ и вычтем его из второго:
   $$3xy=36,$$
   $$xy=12.$$
   Тогда
   $$12-x-y=5,$$
   $$x+y=7.$$
   Получаем уравнение
   $$t^2-7t+12=0,$$
   где $$t=x$$ или $$t=y$$. Отсюда
   $$t=3 \text{ или } t=4.$$
   Значит,
   $$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=4 \\ y=3 \end{cases}$$

3. $$\begin{cases} x+y+xy=11 \\ x^2+y^2+xy=19 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2+xy+y^2+x+y=30.$$
   Обозначим $$x+y=t$$. Тогда
   $$t^2+t-30=0,$$
   $$t=-6 \text{ или } t=5.$$
   При $$x+y=-6$$ получаем
   $$x+y+xy=11 \Rightarrow xy=17,$$
   но тогда
   $$u^2+6u+17=0,$$
   дискриминант отрицателен, решений нет.
   При $$x+y=5$$ имеем
   $$xy=6.$$
   Тогда
   $$u^2-5u+6=0,$$
   $$u=2 \text{ или } u=3.$$
   Следовательно,
   $$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$$

4. $$\begin{cases} x^2+y^2+x+y=18 \\ x^2-y^2+x-y=6 \end{cases}$$
   Сложим и вычтем уравнения:
   $$2x^2+2x=24,$$
   $$y^2+y-6=0.$$
   Тогда
   $$x^2+x-12=0,$$
   $$x=-4 \text{ или } x=3,$$
   а также
   $$y^2+y-6=0,$$
   $$y=-3 \text{ или } y=2.$$
   Получаем пары:
   $$(-4,-3),\; (-4,2),\; (3,-3),\; (3,2).$$

5. $$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{5}{4} \end{cases}$$
   Обозначим
   $$a=\dfrac{1}{x}, \quad b=\dfrac{1}{y}.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} a+b=\dfrac{3}{2} \\ a^2+b^2=\dfrac{5}{4} \end{cases}$$
   Найдём произведение:
   $$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2,$$
   $$\dfrac{9}{4}=\dfrac{5}{4}+2ab,$$
   $$ab=\dfrac{1}{2}.$$
   Значит, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
   $$t^2-\dfrac{3}{2}t+\dfrac{1}{2}=0,$$
   откуда
   $$t=1 \text{ или } t=\dfrac{1}{2}.$$
   Следовательно,
   $$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$$

6. $$\begin{cases} x^4+y^4=17(x+y)^2 \\ xy=2(x+y) \end{cases}$$
   Обозначим
   $$u=x+y,\quad t=xy.$$
   Тогда
   $$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left(u^2-2t\right)^2-2t^2.$$
   Из второго уравнения $$t=2u$$. Подставим:
   $$\left(u^2-4u\right)^2-8u^2-17u^2=0,$$
   $$u^4-8u^3-9u^2=0,$$
   $$u^2\left(u^2-8u-9\right)=0.$$
   Отсюда
   $$u=0,\; u=-1,\; u=9.$$
   1) $$u=0,\; t=0$$:
   $$x+y=0,\quad xy=0 \Rightarrow (0,0).$$
   2) $$u=-1,\; t=-2$$:
   $$x+y=-1,\quad xy=-2 \Rightarrow (1,-2),\; (-2,1).$$
   3) $$u=9,\; t=18$$:
   $$x+y=9,\quad xy=18 \Rightarrow (3,6),\; (6,3).$$

7. $$\begin{cases} 2y^2-4xy+3x^2=17 \\ y^2-x^2=16 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y^2-4xy+4x^2=1,$$
   $$\left(y-2x\right)^2=1.$$
   Тогда
   $$y-2x=1 \text{ или } y-2x=-1.$$
   
   1) $$y=2x+1$$:
   $$\left(2x+1\right)^2-x^2=16,$$
   $$3x^2+4x-15=0,$$
   $$x=-3 \text{ или } x=\dfrac{5}{3}.$$
   Тогда
   $$(-3,-5),\quad \left(\dfrac{5}{3},\dfrac{13}{3}\right).$$
   
   2) $$y=2x-1$$:
   $$\left(2x-1\right)^2-x^2=16,$$
   $$3x^2-4x-15=0,$$
   $$x=3 \text{ или } x=-\dfrac{5}{3}.$$
   Тогда
   $$\left(3,5\right),\quad \left(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{13}{3}\right).$$

8. $$\begin{cases} x^2-xy+y^2=21 \\ y^2-2xy+15=0 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y^2-2xy=-15.$$
   Из первого:
   $$x^2-xy+y^2=21.$$
   Выразим $$xy$$ из первого уравнения:
   $$x^2+xy=36.$$
   Тогда
   $$xy=36-x^2.$$
   Подставим в второе уравнение:
   $$y^2-2\left(36-x^2\right)=-15,$$
   $$y^2+2x^2=57.$$
   Удобнее положить $$t=x^2$$. Тогда после преобразований получаем:
   $$t^2-43t+432=0,$$
   $$t=16 \text{ или } t=27.$$
   Значит,
   $$x=\pm 4 \text{ или } x=\pm 3\sqrt{3}.$$
   Соответствующие значения $$y$$:
   $$x=4 \Rightarrow y=3,\quad x=3 \Rightarrow y=6,$$
   $$x=-4 \Rightarrow y=-3,\quad x=-3\sqrt{3} \Rightarrow y=-3\sqrt{3}.$$
   Поэтому решения:
   $$(-4,-3),\; (4,3),\; (-3\sqrt{3},-3\sqrt{3}),\; (3\sqrt{3},3\sqrt{3}).$$

Ответ

1) $$(-2;-3),\ (2;3)$$
2) $$(4;3),\ (3;4)$$
3) $$(2;3),\ (3;2)$$
4) $$(-4;-3),\ (-4;2),\ (3;-3),\ (3;2)$$
5) $$(2;1),\ (1;2)$$
6) $$(0;0),\ (1;-2),\ (-2;1),\ (3;6),\ (6;3)$$
7) $$(-3;-5),\ \left(\dfrac{5}{3};\dfrac{13}{3}\right),\ (3;5),\ \left(-\dfrac{5}{3};-\dfrac{13}{3}\right)$$
8) $$(-4;-3),\ (4;3),\ (-3\sqrt{3};-3\sqrt{3}),\ (3\sqrt{3};3\sqrt{3})$$