Упр.886 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x^2-2|x-1|=2;
2) (x+1)|x-2|=2;
3) |(|x-1|-3)|=2;
4) |x^2-9|+|x^2-4|=5;
5) x^2+3x+6/(2-3x-x^2 )=1;
6) 1/(x^2+6x+5)+18/(x^2+6x+10)=18/(x^2+6x+9);
7) x^2+1/x^2 -5x-5/x+8=0;
8) x(x^2-1)(x+2)+1=0.
- $$x^2-2|x-1|=2$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x\ge 1$$
$$x^2-2(x-1)=2$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$Подходит только $$x=2$$.
2) $$x<1$$
$$x^2-2(1-x)=2$$
$$x^2+2x-4=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt5$$Подходит только $$x=-1-\sqrt5$$.
- $$\left(x+1\right)|x-2|=2$$
1) $$x\ge 2$$
$$\left(x+1\right)(x-2)=2$$
$$x^2-x-4=0$$
$$D=1+16=17$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$$Подходит только $$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$.
2) $$x<2$$
$$\left(x+1\right)(2-x)=2$$
$$-x^2+x=0$$
$$x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$Оба значения подходят.
- $$\left|\;|x-1|-3\;\right|=2$$
1) $$x\ge 1$$
$$|x-1|-3=2 \quad \text{или} \quad |x-1|-3=-2$$
$$|x-1|=5 \quad \text{или} \quad |x-1|=1$$
$$x=6,\; x=-4,\; x=2,\; x=0$$С учётом $$x\ge 1$$ подходят $$x=2$$ и $$x=6$$.
2) $$x<1$$
$$3-|x-1|=2 \quad \text{или} \quad 3-|x-1|=-2$$
$$|x-1|=1 \quad \text{или} \quad |x-1|=5$$
$$x=0,\; x=2,\; x=-4,\; x=6$$С учётом $$x<1$$ подходят $$x=-4$$ и $$x=0$$.
- $$|x^2-9|+|x^2-4|=5$$
Рассмотрим промежутки по точкам $$x=\pm 2$$ и $$x=\pm 3$$.
На промежутках $$-3\le x\le -2$$ и $$2\le x\le 3$$ выражение равно $$5$$.
На остальных промежутках равенство не выполняется.
- $$x^2+3x+\frac{6}{2-3x-x^2}=1$$
$$x^2+3x-\frac{6}{x^2+3x-2}=1$$Положим $$y=x^2+3x$$, тогда $$y\ne 2$$ и
$$y-\frac{6}{y-2}=1$$
$$y(y-2)-6=y-2$$
$$y^2-3y-4=0$$
$$\left(y-4\right)\left(y+1\right)=0$$
$$y=4 \text{ или } y=-1$$Тогда:
$$x^2+3x=4 \Rightarrow x^2+3x-4=0 \Rightarrow x=-4,\;1$$
$$x^2+3x=-1 \Rightarrow x^2+3x+1=0 \Rightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}$$ - $$\frac{1}{x^2+6x+5}+\frac{18}{x^2+6x+10}=\frac{18}{x^2+6x+9}$$
Положим $$y=x^2+6x+5$$, тогда $$y\ne 0,\,-4,\,-5$$ и
$$\frac{1}{y}+\frac{18}{y+5}=\frac{18}{y+4}$$
$$ (y+5)(y+4)+18y(y+4)-18y(y+5)=0$$
$$y^2-9y-20=0$$
$$\left(y-5\right)\left(y+4\right)=0$$
$$y=5 \text{ или } y=-4$$Значение $$y=-4$$ не подходит, так как $$y\ne -4$$. Значит, $$y=5$$.
$$x^2+6x+5=5$$
$$x^2+6x=0$$
$$x(x+6)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-6$$ - $$x^2+\frac{1}{x^2}-5x-\frac{5}{x}+8=0$$
Положим $$y=x+\frac{1}{x}$$, тогда $$x\ne 0$$ и
$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$$
Получаем:
$$y^2-2-5y+8=0$$
$$y^2-5y+6=0$$
$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$
$$y=2 \text{ или } y=3$$1) $$x+\frac{1}{x}=2$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$(x-1)^2=0$$
$$x=1$$2) $$x+\frac{1}{x}=3$$
$$x^2-3x+1=0$$
$$D=9-4=5$$
$$x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}$$ - $$x(x^2-1)(x+2)+1=0$$
$$x(x-1)(x+1)(x+2)+1=0$$
$$\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-2\right)+1=0$$Положим $$y=x^2+x$$. Тогда
$$y(y-2)+1=0$$
$$y^2-2y+1=0$$
$$(y-1)^2=0$$
$$y=1$$
$$x^2+x=1$$
$$x^2+x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$
Ответ
1) $$x=-1-\sqrt5,\; 2$$;
2) $$x=0,\; 1,\; \frac{1+\sqrt{17}}{2}$$;
3) $$x=-4,\; 0,\; 2,\; 6$$;
4) $$x\in[-3;-2]\cup[2;3]$$;
5) $$x=-4,\; 1,\; \frac{-3\pm\sqrt5}{2}$$;
6) $$x=-6,\; 0$$;
7) $$x=1,\; \frac{3\pm\sqrt5}{2}$$;
8) $$x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$.
