Упр.885 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 4/(1+x^4 )+2/(1+x^2 )+1/(1+x)+1/(1-x);
2) (a^2-bc)/(a+b)(a+c) +(b^2-ac)/(b+c)(a+b) +(c^2-ab)/(a+c)(b+c) ;
3) v(x+2v(x-1)) +v(x-2v(x-1)) , если 1?x<2; 4) (v(m+x)+v(m-x))/(v(m+x)-v(m-x)), если x=2mn/(n^2+1), где m>0, 0

1. $$\frac{4}{1+x^4}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}$$
   $$=\frac{4}{1+x^4}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)}$$
   $$=\frac{4}{1+x^4}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1-x^2}$$
   $$=\frac{4}{1+x^4}+\frac{2(1-x^2)+2(1+x^2)}{(1+x^2)(1-x^2)}$$
   $$=\frac{4}{1+x^4}+\frac{4}{1-x^4}$$
   $$=\frac{4(1-x^4)+4(1+x^4)}{(1+x^4)(1-x^4)}$$
   $$=\frac{8}{1-x^8}.$$

2. $$\frac{a^2-bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^2-ac}{(b+c)(a+b)}+\frac{c^2-ab}{(a+c)(b+c)}$$
   $$=\frac{(a^2-bc)(b+c)+(b^2-ac)(a+c)+(c^2-ab)(a+b)}{(a+b)(a+c)(b+c)}.$$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$a^2b+a^2c-bc^2-b^2c+ab^2+b^2c-a^2c-ac^2+ac^2+bc^2-a^2b-ab^2=0.$$

   Значит,
   $$\frac{0}{(a+b)(a+c)(b+c)}=0.$$

3. При $$1\le x<2$$ имеем $$x-1\ge 0$$, поэтому
   $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}.$$

   Преобразуем подкоренные выражения:
   $$x+2\sqrt{x-1}=x-1+2\sqrt{x-1}+1=(\sqrt{x-1}+1)^2,$$
   $$x-2\sqrt{x-1}=x-1-2\sqrt{x-1}+1=(\sqrt{x-1}-1)^2.$$

   Тогда
   $$\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}$$
   $$=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|.$$

   Так как $$1\le x<2,$$ то $$0\le \sqrt{x-1}<1,$$ следовательно,
   $$|\sqrt{x-1}+1|=\sqrt{x-1}+1,$$
   $$|\sqrt{x-1}-1|=1-\sqrt{x-1}.$$

   Получаем:
   $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2.$$

4. Пусть
   $$E=\frac{\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x}}{\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x}}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:
   $$E=\frac{(\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x})^2}{(m+x)-(m-x)}.$$

   Тогда
   $$E=\frac{m+x+2\sqrt{m^2-x^2}+m-x}{2x}=\frac{2m+2\sqrt{m^2-x^2}}{2x}=\frac{m+\sqrt{m^2-x^2}}{x}.$$

   По условию
   $$x=\frac{2mn}{n^2+1}.$$
   Тогда
   $$m^2-x^2=m^2-\frac{4m^2n^2}{(n^2+1)^2}=\frac{m^2(n^2-1)^2}{(n^2+1)^2},$$
   значит
   $$\sqrt{m^2-x^2}=\frac{m(1-n^2)}{n^2+1},$$
   так как $$0<n<1.$$

   Подставим:
   $$E=\frac{m+\frac{m(1-n^2)}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}}$$
   $$=\frac{\frac{m(n^2+1)+m(1-n^2)}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}}$$
   $$=\frac{\frac{2m}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}}=\frac{1}{n}.$$

Ответ

1) $$\frac{8}{1-x^8}$$;
2) $$0$$;
3) $$2$$;
4) $$\frac{1}{n}$$.