Упр.884 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Пусть $$x+y=a$$, $$xy=b$$. Доказать, что:

1. $$x^3+y^3=a^3-3ab$$;
2. $$x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2$$;
3. $$x^5+y^5=a^5-5a^3b+5ab^2$$;
4. $$x^6+y^6=a^6-6a^4b+9a^2b^2-2b^3$$.

Пусть $$x+y=a,$$ $$xy=b.$$ Тогда последовательно выразим суммы степеней через $$a$$ и $$b$$.

1)

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$
$$=(x+y)\bigl((x+y)^2-3xy\bigr)$$
$$=a(a^2-3b)=a^3-3ab.$$

2)

$$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$
$$=\bigl((x+y)^2-2xy\bigr)^2-2(xy)^2$$
$$=(a^2-2b)^2-2b^2$$
$$=a^4-4a^2b+2b^2.$$

3)

$$x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)$$
$$=(x+y)\bigl((x^4+y^4)-xy(x^2+y^2)+(xy)^2\bigr)$$
$$=a\bigl((a^4-4a^2b+2b^2)-b(a^2-2b)+b^2\bigr)$$
$$=a(a^4-5a^2b+5b^2)$$
$$=a^5-5a^3b+5ab^2.$$

4)

$$x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$$
$$=\bigl((x+y)^2-2xy\bigr)\Bigl(\bigl((x+y)^2-2xy\bigr)^2-3(xy)^2\Bigr)$$
$$=(a^2-2b)\bigl((a^2-2b)^2-3b^2\bigr)$$
$$=(a^2-2b)(a^4-4a^2b+b^2)$$
$$=a^6-6a^4b+9a^2b^2-2b^3.$$

Ответ

$$x^3+y^3=a^3-3ab,$$
$$x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2,$$
$$x^5+y^5=a^5-5a^3b+5ab^2,$$
$$x^6+y^6=a^6-6a^4b+9a^2b^2-2b^3.$$