Упр.884 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x^3+y^3=a^3-3ab;
2) x^4+y^4=a^4-4a^2 b+2b^2;
3) x^5+y^5=a^5-5a^3 b+5ab^2;
4) x^6+y^6=a^6-6a^4 b+9a^2 b^2-2b^3.

Пусть $$x+y=a,$$ $$xy=b.$$ Тогда последовательно выразим суммы степеней через $$a$$ и $$b$$.

1)

$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$
$$ =(x+y)\bigl((x+y)^2-3xy\bigr) $$
$$ =a(a^2-3b)=a^3-3ab. $$

2)

$$ x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2 $$
$$ =\bigl((x+y)^2-2xy\bigr)^2-2(xy)^2 $$
$$ =(a^2-2b)^2-2b^2 $$
$$ =a^4-4a^2b+2b^2. $$

3)

$$ x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4) $$
$$ =(x+y)\bigl((x^4+y^4)-xy(x^2+y^2)+(xy)^2\bigr) $$
$$ =a\bigl((a^4-4a^2b+2b^2)-b(a^2-2b)+b^2\bigr) $$
$$ =a(a^4-5a^2b+5b^2) $$
$$ =a^5-5a^3b+5ab^2. $$

4)

$$ x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4) $$
$$ =\bigl((x+y)^2-2xy\bigr)\Bigl(\bigl((x+y)^2-2xy\bigr)^2-3(xy)^2\Bigr) $$
$$ =(a^2-2b)\bigl((a^2-2b)^2-3b^2\bigr) $$
$$ =(a^2-2b)(a^4-4a^2b+b^2) $$
$$ =a^6-6a^4b+9a^2b^2-2b^3. $$

Ответ

$$ x^3+y^3=a^3-3ab, $$
$$ x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2, $$
$$ x^5+y^5=a^5-5a^3b+5ab^2, $$
$$ x^6+y^6=a^6-6a^4b+9a^2b^2-2b^3. $$