Упр.883 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Если a?b и (a^2-bc)/(a(1-bc))=(b^2-ac)/b(1-ac), то a+b+c+=1/a+1/b+1/c. Доказать.

Из условия имеем:

$$a \ne b,$$

$$\frac{a^2-bc}{a(1-bc)}=\frac{b^2-ac}{b(1-ac)}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$\bigl(a^2-bc\bigr)b(1-ac)=a(1-bc)\bigl(b^2-ac\bigr).$$

Раскроем скобки:

$$a^2b-ab^2c-b^2c+ab^2c^2=ab^2-a^2c-ab^3c+a^2bc^2.$$

Перенесём всё в одну сторону и приведём подобные:

$$a^2b-ab^2-b^2c+a^2c=ab^3c-ab^2c^2-ab^3c+a^2bc^2,$$

$$ab(a-b)+c(a^2-b^2)=abc(a^2-b^2)+abc^2(a-b).$$

Вынесем общий множитель и используем формулу $$a^2-b^2=(a-b)(a+b):$$

$$ (a-b)\bigl(ab+c(a+b)\bigr)=(a-b)\bigl(abc(a+b)+abc^2\bigr).$$

Так как $$a \ne b,$$ можно разделить обе части на $$a-b$$:

$$ab+ac+bc=abc(a+b+c).$$

Теперь разделим обе части на $$abc$$:

$$\frac{ab}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{bc}{abc}=a+b+c,$$

то есть

$$\frac1c+\frac1b+\frac1a=a+b+c.$$

Следовательно,

$$a+b+c=\frac1a+\frac1b+\frac1c,$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$a+b+c=\frac1a+\frac1b+\frac1c.$$