Упр.882 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что выражение $$a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$$ не равно нулю, если $$a$$, $$b$$, $$c$$ — попарно не равные между собой числа.

Преобразуем выражение:

$$a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$$a^2c-a^2b+ab^2-b^2c+bc^2-ac^2$$

Сгруппируем по множителям:

$$ac(a-c)+b^2(a-c)-b(a^2-c^2)$$

Так как $$a^2-c^2=(a-c)(a+c),$$ получаем:

$$(a-c)(ac+b^2)-b(a-c)(a+c)$$

Вынесем общий множитель $$a-c$$:

$$(a-c)\bigl(ac+b^2-ab-bc\bigr)$$

Сгруппируем вторую скобку:

$$ac+b^2-ab-bc=(a-b)(c-b)$$

Тогда

$$a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)=(a-c)(a-b)(c-b)$$

Так как числа $$a, b, c$$ попарно различны, то каждый из множителей $$a-c,$$ $$a-b,$$ $$c-b$$ не равен нулю. Значит, и всё выражение не равно нулю.

Ответ

$$a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)=(a-c)(a-b)(c-b)\ne 0$$