Упр.882 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что выражение a^2 (c-b)+b^2 (a-c)+c^2 (b-a) не равно нулю, если a, b, c — попарно не равные между собой числа.

Преобразуем выражение:

$$ a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a) $$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$$ a^2c-a^2b+ab^2-b^2c+bc^2-ac^2 $$

Сгруппируем по множителям:

$$ ac(a-c)+b^2(a-c)-b(a^2-c^2) $$

Так как $$a^2-c^2=(a-c)(a+c),$$ получаем:

$$ (a-c)(ac+b^2)-b(a-c)(a+c) $$

Вынесем общий множитель $$a-c$$:

$$ (a-c)\bigl(ac+b^2-ab-bc\bigr) $$

Сгруппируем вторую скобку:

$$ ac+b^2-ab-bc=(a-b)(c-b) $$

Тогда

$$ a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)=(a-c)(a-b)(c-b) $$

Так как числа $$a, b, c$$ попарно различны, то каждый из множителей $$a-c,$$ $$a-b,$$ $$c-b$$ не равен нулю. Значит, и всё выражение не равно нулю.

Ответ

$$ a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)=(a-c)(a-b)(c-b)\ne 0 $$