Упр.881 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что из равенства 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) следует равенство 1/a^3 +1/b^3 +1/c^3 =1/(a^3+b^3+c^3 ).
Из условия
$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac1{a+b+c}$$
получаем
$$\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac1{a+b+c}.$$
Перемножим крест-накрест:
$$\bigl(ab+ac+bc\bigr)(a+b+c)=abc.$$
Раскроем скобки:
$$a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=abc,$$
откуда
$$a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0.$$
Сгруппируем:
$$a^2(b+c)+a(b^2+2bc+c^2)+bc(b+c)=0,$$
$$a^2(b+c)+a(b+c)^2+bc(b+c)=0,$$
$$ (b+c)\bigl(a^2+a(b+c)+bc\bigr)=0,$$
$$ (b+c)(a+b)(a+c)=0.$$
Значит, хотя бы одно из равенств верно:
$$b=-c,\quad a=-b,\quad a=-c.$$
Рассмотрим каждый случай.
Если $$b=-c,$$ то
$$\frac1{a^3}+\frac1{(-c)^3}+\frac1{c^3}=\frac1{a^3+(-c)^3+c^3}.$$
Так как $$(-c)^3=-c^3,$$ получаем
$$\frac1{a^3}=\frac1{a^3},$$
что верно.
Если $$a=-b,$$ то
$$\frac1{(-b)^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac1{(-b)^3+b^3+c^3}.$$
Так как $$(-b)^3=-b^3,$$ получаем
$$\frac1{c^3}=\frac1{c^3},$$
что верно.
Если $$a=-c,$$ то
$$\frac1{(-c)^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac1{(-c)^3+b^3+c^3}.$$
Так как $$(-c)^3=-c^3,$$ получаем
$$\frac1{b^3}=\frac1{b^3},$$
что верно.
Следовательно, из равенства
$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac1{a+b+c}$$
действительно следует
$$\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac1{a^3+b^3+c^3}.$$
Ответ
$$\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac1{a^3+b^3+c^3}.$$
