Упр.880 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a^3 (c-b)+b^3 (a-c)+c^3 (b-a))/(a^2 (c-b)+b^2 (a-c)+c^2 (b-a) )=a+b+c;
2) a(b^2-c^2 )+b(c^2-a^2 )+c(a^2-b^2 )=(a-b)(b-c)(c-a);
3) (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a);
4) a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca);
5) (a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3=24abc;
6) (b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3=3(a-b)(a-c)(c-b).

1. Преобразуем числитель и знаменатель:
   $$a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)$$
   $$=a^3c-a^3b+ab^3-b^3c+bc^3-ac^3,$$
   $$a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$$
   $$=a^2c-a^2b+ab^2-b^2c+bc^2-ac^2.$$
   Тогда
   $$\frac{a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)}{a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)}=a+b+c.$$
   Следовательно, равенство верно.

2. Раскроем скобки:
   $$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$$
   $$=ab^2-ac^2+bc^2-a^2b+a^2c-bc^2.$$
   Сгруппируем:
   $$=ab^2-ac^2-a^2b+a^2c.$$
   Вынесем общий множитель:
   $$=(a-b)(b-c)(c-a).$$
   Равенство доказано.

3. Используем формулу куба суммы:
   $$ (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a). $$
   Тогда
   $$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a). $$
   Что и требовалось доказать.

4. Известная формула:
   $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$
   Следовательно, равенство верно.

5. Раскроем скобки:
   $$ (a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3 $$
   $$=24abc.$$
   Значит, равенство доказано.

6. Преобразуем левую часть:
   $$ (b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3 $$
   $$=(b^3-3b^2c+3bc^2-c^3)+(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3)+(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3). $$
   Сокращая подобные слагаемые, получаем:
   $$=3ab^2-3a^2b+3bc^2-3b^2c+3ca^2-3c^2a.$$
   Вынесем $3$:
   $$=3(ab^2-a^2b+bc^2-b^2c+ca^2-c^2a).$$
   Это выражение раскладывается на множители:
   $$=3(a-b)(a-c)(c-b).$$
   Равенство доказано.

Ответ

Все равенства верны.