Упр.879 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что 1980•1981•1982•1983+1 является квадратом некоторого натурального числа x, и найти x.

Пусть $$1980=n,$$ тогда

$$1981=n+1,\quad 1982=n+2,\quad 1983=n+3.$$

Тогда

$$ 1980\cdot 1981\cdot 1982\cdot 1983+1 = n(n+1)(n+2)(n+3)+1. $$

Сгруппируем множители:

$$ n(n+3)(n+1)(n+2)+1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1. $$

Обозначим $$m=n^2+3n.$$ Тогда

$$ m(m+2)+1=m^2+2m+1=(m+1)^2. $$

Значит,

$$ 1980\cdot 1981\cdot 1982\cdot 1983+1 = (n^2+3n+1)^2. $$

Найдём $$x$$:

$$ x=n^2+3n+1=1980^2+3\cdot 1980+1=3926341. $$

Ответ

$$3926341$$