Упр.879 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$1980\cdot1981\cdot1982\cdot1983+1$$ является квадратом некоторого натурального числа $$x$$, и найти $$x$$.

Пусть $$1980=n,$$ тогда

$$1981=n+1,\quad 1982=n+2,\quad 1983=n+3.$$

Тогда

$$1980\cdot 1981\cdot 1982\cdot 1983+1 = n(n+1)(n+2)(n+3)+1.$$

Сгруппируем множители:

$$n(n+3)(n+1)(n+2)+1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1.$$

Обозначим $$m=n^2+3n.$$ Тогда

$$m(m+2)+1=m^2+2m+1=(m+1)^2.$$

Значит,

$$1980\cdot 1981\cdot 1982\cdot 1983+1 = (n^2+3n+1)^2.$$

Найдём $$x$$:

$$x=n^2+3n+1=1980^2+3\cdot 1980+1=3926341.$$

Ответ

$$3926341$$