Упр.878 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать равенство:

1. $$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$
2. $$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}-\frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}}=\frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}$$
3. $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+?+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}=\sqrt{99}-1$$
4. $$\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$$
5. $$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$$

1. Преобразуем дроби, рационализируя знаменатели:
   $$\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3}=\sqrt5+\sqrt3,$$
   $$\frac{5}{\sqrt3+2\sqrt2}=\frac{5(\sqrt3-2\sqrt2)}{3-8}=-\bigl(\sqrt3-2\sqrt2\bigr)=2\sqrt2-\sqrt3,$$
   $$\frac{3}{\sqrt8-\sqrt5}=\frac{3(\sqrt8+\sqrt5)}{8-5}=\sqrt8+\sqrt5=2\sqrt2+\sqrt5.$$

   Тогда
   $$\sqrt5+\sqrt3+2\sqrt2-\sqrt3=\sqrt5+2\sqrt2,$$
   что совпадает с правой частью. Равенство верно.

2. Аналогично:
   $$\frac{4}{\sqrt7+\sqrt3}=\frac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3}=\sqrt7-\sqrt3,$$
   $$\frac{8}{\sqrt3-\sqrt{11}}=\frac{8(\sqrt3+\sqrt{11})}{3-11}=-\bigl(\sqrt3+\sqrt{11}\bigr),$$
   $$\frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt7}=\frac{4(\sqrt{11}+\sqrt7)}{11-7}=\sqrt{11}+\sqrt7.$$

   Тогда
   $$\sqrt7-\sqrt3-\bigl(-\sqrt3-\sqrt{11}\bigr)=\sqrt7+\sqrt{11},$$
   что и требовалось. Равенство верно.

3. Запишем каждый член в виде разности:
   $$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}.$$
   Тогда
   $$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}$$
   $$=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{99}-\sqrt{98}).$$

   В сумме сокращаются все промежуточные слагаемые:
   $$\sqrt{99}-1.$$
   Равенство верно.

4. Приведём левую часть к общему знаменателю:
   $$\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}$$
   $$=\frac{(a+2)(a+3)+a(a+3)+a(a+1)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}.$$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$(a+2)(a+3)+a(a+3)+a(a+1)$$
   $$=a^2+5a+6+a^2+3a+a^2+a =3a^2+9a+6 =3(a^2+3a+2) =3(a+1)(a+2).$$

   Тогда
   $$\frac{3(a+1)(a+2)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}.$$
   Равенство верно.

5. Раскроем скобки в левой части:
   $$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =\bigl(n(n+3)\bigr)\bigl((n+1)(n+2)\bigr)+1.$$
   Так как
   $$n(n+3)=n^2+3n,\qquad (n+1)(n+2)=n^2+3n+2,$$
   получаем
   $$(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1.$$

   Обозначим $$t=n^2+3n.$$ Тогда
   $$t(t+2)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2.$$
   Возвращаясь к $$n$$, имеем
   $$(n^2+3n+1)^2.$$
   Следовательно, равенство верно.

Ответ

Все равенства верны.