Упр.876 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что если $$n$$ — натуральное число и $$n>1$$, то $$n^4+4$$ — составное число.

Преобразуем выражение:

$$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2.$$

Это разность квадратов:

$$n^4+4=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n).$$

Так как $$n>1$$ и $$n$$ — натуральное число, то оба множителя больше 1. Значит, число $$n^4+4$$ раскладывается на два множителя, больших 1, и поэтому является составным.

Ответ

$$n^4+4$$ — составное число при любом натуральном $$n>1$$.