Упр.875 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если p — простое число и p?5, то остаток от деления p^2 на 12 равен 1.

Подробный ответ

Пусть $$p$$ — простое число и $$p \ge 5$$. Тогда $$p$$ не делится на $$2$$ и на $$3$$, значит, оно нечетное и не кратно $$3$$.

Любое нечетное число можно записать в виде $$p=2k+1$$. Тогда

$$ p^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1. $$

Произведение $$k(k+1)$$ — число четное, значит, $$4k(k+1)$$ делится на $$8$$, а потому при делении на $$4$$ остаток от $$p^2$$ равен $$1$$.

Кроме того, так как $$p \ne 3$$ и $$p$$ — простое, то $$p$$ не делится на $$3$$. Следовательно, $$p \equiv \pm 1 \pmod 3$$, а значит,

$$ p^2 \equiv 1 \pmod 3. $$

Итак, число $$p^2$$ при делении и на $$4$$, и на $$3$$ дает остаток $$1$$. Тогда при делении на $$12$$ остаток тоже равен $$1$$.