Упр.874 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найти все простые числа n такие, что n^2 +8 — простое число.

Подробный ответ

Пусть $$n$$ — простое число и $$n^2+8$$ тоже простое.

Так как простое число $$n$$, кроме $$2$$, обязательно нечётное, рассмотрим возможные случаи.

Если $$n=2$$, то

$$n^2+8=2^2+8=12,$$

а число $$12$$ не является простым.

Если $$n>2$$, то $$n$$ — нечётное. Тогда $$n^2$$ тоже нечётно, значит, $$n^2+8$$ нечётно.

Проверим простые нечётные числа. Для $$n=3$$ получаем:

$$n^2+8=3^2+8=9+8=17,$$

а $$17$$ — простое число.

Если $$n>3$$, то простое число $$n$$ нечётно, и число $$n^2+8$$ можно представить так:

$$n^2+8=(n^2-1)+9=(n-1)(n+1)+9.$$

Так как при нечётном $$n$$ числа $$n-1$$ и $$n+1$$ — чётные, то произведение $$n^2-1$$ делится на $$8$$, а значит, число $$n^2+8$$ делится на $$9$$ по модулю соответствующего разложения не получается простым. Следовательно, при $$n>3$$ число $$n^2+8$$ не может быть простым.

Остаётся единственный подходящий случай: $$n=3$$.