Упр.873 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если p — простое число, большее трех, то значение выражения p^2 -1 делится на 24.

Подробный ответ

Так как $$p$$ — простое число и $$p>3$$, то оно не делится ни на $$2$$, ни на $$3$$.

Следовательно, $$p$$ — нечётное число, значит, $$p=2m+1$$, где $$m$$ — натуральное число. Тогда

$$ p^2-1=(2m+1)^2-1=4m^2+4m=4m(m+1). $$

Произведение двух последовательных натуральных чисел $$m$$ и $$m+1$$ делится на $$2$$, значит, $$m(m+1)$$ кратно $$2$$. Тогда $$4m(m+1)$$ делится на $$8$$.

Кроме того, число $$p$$ при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$ или $$2$$, то есть

$$p=3n+1 \quad \text{или} \quad p=3n+2.$$

Если $$p=3n+1$$, то

$$ p^2-1=(3n+1)^2-1=9n^2+6n=3n(3n+2), $$

значит, $$p^2-1$$ делится на $$3$$.

Если $$p=3n+2$$, то

$$ p^2-1=(3n+2)^2-1=9n^2+12n+3=3(3n^2+4n+1), $$

значит, $$p^2-1$$ тоже делится на $$3$$.

Итак, число $$p^2-1$$ делится и на $$8$$, и на $$3$$. Так как $$8$$ и $$3$$ взаимно просты, то $$p^2-1$$ делится на $$24$$.