Упр.872 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что ни одно из чисел вида n^3 -3, где n — натуральное число, не делится на 7.

Пусть $$n=7k+r,$$ где $$r$$ — остаток от деления числа $$n$$ на $$7,$$ то есть $$r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}.$$ Тогда

$$ n^3-3=(7k+r)^3-3=(7k)^3+3(7k)^2r+3\cdot 7kr^2+r^3-3. $$

Первые три слагаемых делятся на $$7,$$ значит, чтобы число $$n^3-3$$ делилось на $$7,$$ необходимо, чтобы и $$r^3-3$$ делилось на $$7.$$ Проверим все возможные остатки:

• при $$r=0$$: $$0^3-3=-3,$$ не делится на $$7$$;
• при $$r=1$$: $$1^3-3=-2,$$ не делится на $$7$$;
• при $$r=2$$: $$2^3-3=5,$$ не делится на $$7$$;
• при $$r=3$$: $$3^3-3=24,$$ не делится на $$7$$;
• при $$r=4$$: $$4^3-3=61,$$ не делится на $$7$$;
• при $$r=5$$: $$5^3-3=122,$$ не делится на $$7$$;
• при $$r=6$$: $$6^3-3=213,$$ не делится на $$7$$.

Во всех случаях число $$r^3-3$$ не делится на $$7,$$ значит, не делится на $$7$$ и число $$n^3-3$$.

Ответ

Ни одно из чисел вида $$n^3-3$$ при натуральном $$n$$ не делится на $$7$$.