Упр.871 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на 3.

Рассмотрим остатки натурального числа при делении на $$3$$. Любое число либо делится на $$3$$, либо имеет вид $$3k+1$$, либо $$3k+2$$.

Если число не делится на $$3$$, то:

$$ (3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1, $$
$$ (3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1. $$

Значит, квадрат числа, не делящегося на $$3$$, при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$.

Теперь предположим, что сумма квадратов двух натуральных чисел делится на $$3$$. Если хотя бы одно из чисел не делится на $$3$$, то его квадрат даёт остаток $$1$$ при делении на $$3$$. Тогда сумма квадратов может иметь остаток $$1$$ или $$2$$, но не $$0$$.

Следовательно, чтобы сумма квадратов делилась на $$3$$, оба числа должны делиться на $$3$$.

Ответ

Если $$n^2+m^2$$ делится на $$3$$, то $$n$$ и $$m$$ делятся на $$3$$.